2020 AMC 12B 第 22 题

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22.

下列表达式的最大值是多少？

\frac{(2^t - 3t)\,t}{4^t}

其中

t

取遍所有实数。

What is the maximum value of

\frac{(2^t - 3t)\,t}{4^t}

for real values of

t?

\dfrac{1}{16}

\dfrac{1}{15}

\dfrac{1}{12}

\dfrac{1}{10}

\dfrac19

答案：C

知识点：换元法二次方程最优化

难度评级：1860

小提示：

令

u = \dfrac{t}{2^t}

，则

\dfrac{t^2}{4^t} = u^2

。

Let

u = \dfrac{t}{2^t};

then

\dfrac{t^2}{4^t} = u^2

大提示：

表达式变为

u - 3u^2

，这是关于

u

的开口向下抛物线。

The expression becomes

u - 3u^2,

a downward parabola in

u

解答：

拆开分式：

\dfrac{(2^t - 3t)t}{4^t} = \dfrac{t}{2^t} - \dfrac{3t^2}{4^t}

。令

u = \dfrac{t}{2^t}

，则

\dfrac{t^2}{4^t} = u^2

，原式变为

u - 3u^2

。

这个抛物线在

u = \tfrac16

时取得最大值

\tfrac16 - 3\cdot\tfrac1{36} = \tfrac1{12}

。由于

u = \tfrac{t}{2^t}

连续且能取到

\tfrac16

，该最大值确实可以达到。

所以正确答案是 C。

Split the fraction:

\dfrac{(2^t - 3t)t}{4^t} = \dfrac{t}{2^t} - \dfrac{3t^2}{4^t}.

Let

u = \dfrac{t}{2^t},

so

\dfrac{t^2}{4^t} = u^2

and the expression is

u - 3u^2.

This parabola has maximum at

u = \tfrac16,

with value

\tfrac16 - 3\cdot\tfrac1{36} = \tfrac1{12}.

Since

u = \tfrac{t}{2^t}

is continuous and attains the value

\tfrac16,

the maximum is achieved.

Thus, the correct answer is C.

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