2019 AMC 12B 第 9 题

Question

有多少个整数

x

，使得边长为

\log_2 x

、

\log_4 x

和

3

的三角形面积为正？

For how many integral values of

x

can a triangle of positive area be formed having side lengths

\log_2 x,

\log_4 x,

and

3?

57

59

61

62

63

答案：B

知识点：对数三角不等式区间内整数计数

难度评级：1500

小提示：

令

t=\log_2 x

，则

\log_4 x=\dfrac{t}{2}

。

Let

t=\log_2 x,

so

\log_4 x=\dfrac{t}{2}

大提示：

对边长

t,\ \dfrac{t}{2},\ 3

应用三角形不等式

Apply the triangle inequality to sides

t,\ \dfrac{t}{2},\ 3

解答：

令

t=\log_2 x

，则

\log_4 x=\dfrac{t}{2}

，三边为

t,\ \dfrac{t}{2},\ 3

。

三角形不等式给出

t+\dfrac{t}{2}\gt3

（所以

t\gt2

）以及

\dfrac{t}{2}+3\gt t

（所以

t\lt6

）；第三个不等式自动成立。

因此

2\lt\log_2 x\lt6

，即

4\lt x\lt64

。整数

5,6,\ldots,63

59

个。

所以正确答案是 B。

Let

t=\log_2 x.

Then

\log_4 x=\dfrac{t}{2},

and the sides are

t,\ \dfrac{t}{2},\ 3.

The triangle inequalities give

t+\dfrac{t}{2}\gt3

(so

t\gt2

) and

\dfrac{t}{2}+3\gt t

(so

t\lt6

); the third inequality is automatic.

Thus

2\lt\log_2 x\lt6,

i.e.

4\lt x\lt64.

The integers

5,6,\ldots,63

number

59.

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 9 题

答案：B

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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