2019 AMC 12B 第 22 题

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22.

递归定义数列：

x_0=5

，且

x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+5x_n+4}{x_n+6}

对所有非负整数

n

成立。设

m

为满足

x_m\le4+\dfrac{1}{2^{20}}\text{。}

的最小正整数。

m

位于下列哪个区间？

Define a sequence recursively by

x_0=5

and

x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+5x_n+4}{x_n+6}

for all nonnegative integers

n.

Let

m

be the least positive integer such that

x_m\le4+\dfrac{1}{2^{20}}.

In which of the following intervals does

m

lie?

[9,26]

[27,80]

[81,242]

[243,728]

[729,\infty)

答案：C

知识点：递推裂项相消极限情形界定

难度评级：2330

小提示：

令

a_n=x_n-4

；则

a_{n+1}=a_n\cdot\dfrac{x_n+5}{x_n+6}

。

Let

a_n=x_n-4;

then

a_{n+1}=a_n\cdot\dfrac{x_n+5}{x_n+6}

大提示：

因为

x_n

递减趋向

4

，这个比值始终在

\dfrac{9}{10}

与

\dfrac{10}{11}

之间

Since

x_n

decreases toward

4,

the ratio stays between

\dfrac{9}{10}

and

\dfrac{10}{11}

解答：

令

a_n=x_n-4

。简单计算得到

\begin{gathered} a_{n+1}=x_{n+1}-4 \\ =\dfrac{(x_n+5)(x_n-4)}{x_n+6} \\ =a_n\cdot\dfrac{x_n+5}{x_n+6} \end{gathered}\text{。}

从

a_0=1

开始，各项保持为正并递减。因为

x_n

从

5

递减趋向

4

，每个比值

\dfrac{x_n+5}{x_n+6}

都严格介于

\dfrac{9}{10}

和

\dfrac{10}{11}

之间。

因此

a_m

被夹在

\left(\dfrac{9}{10}\right)^m

与

\left(\dfrac{10}{11}\right)^m

之间。求解

a_m\le2^{-20}

可知

m

大约在

132

到

146

之间，落在

[81,242]

中。

所以正确答案是 C。

Let

a_n=x_n-4.

A short computation gives

\begin{gathered} a_{n+1}=x_{n+1}-4 \\ =\dfrac{(x_n+5)(x_n-4)}{x_n+6} \\ =a_n\cdot\dfrac{x_n+5}{x_n+6}. \end{gathered}

Starting from

a_0=1,

the terms stay positive and decrease. Because

x_n

decreases from

5

toward

4,

each ratio

\dfrac{x_n+5}{x_n+6}

lies strictly between

\dfrac{9}{10}

and

\dfrac{10}{11}.

Hence

a_m

is squeezed between

\left(\dfrac{9}{10}\right)^m

and

\left(\dfrac{10}{11}\right)^m.

Solving

a_m\le2^{-20}

puts

m

between about

132

and

146,

which lies in

[81,242].

Thus, C is the correct answer.

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