Question

设 $S$ 为 $100{,}000$ 的所有正整数因数组成的集合。有多少个数可以表示为 $S$ 中两个不同元素的乘积？

Let $S$ be the set of all positive integer divisors of $100{,}000.$ How many numbers are the product of two distinct elements of $S?$

$98$

$100$

$117$

$119$

$121$

答案：C

知识点：因数质因数分解补集计数

难度评级：1830

解答：

因为 $100{,}000=2^5\cdot5^5$ ，每个因数都形如 $2^a5^b$ ，其中 $0\le a,b\le5$ 。两个因数的乘积形如 $2^x5^y$ ，其中 $0\le x,y\le10$ ，且每个这样的 $(x,y)$ 都能达到，得到 $11\cdot11=121$ 个值。

我们需要两个不同的因数。一个值 $2^x5^y$ 只能表示为某个因数乘以自身，恰好发生在 $x$ 和 $y$ 都只有一种拆分方式时，也就是 $x,y\in\{0,10\}$ 。这 $4$ 个角上的值（ $1,\ 2^{10},\ 5^{10},\ 2^{10}5^{10}$ ）不能使用两个不同因数表示。

数量为 $121-4=117$ 。

所以正确答案是 C。

Since $100{,}000=2^5\cdot5^5,$ every divisor is $2^a5^b$ with $0\le a,b\le5.$ A product of two divisors is $2^x5^y$ with $0\le x,y\le10,$ and every such pair $(x,y)$ is attainable, giving $11\cdot11=121$ values.

We need two distinct divisors. A value $2^x5^y$ is forced to be a divisor times itself only when both $x$ and $y$ have a unique split, which happens exactly when $x,y\in\{0,10\}.$ Those $4$ corner values ( $1,\ 2^{10},\ 5^{10},\ 2^{10}5^{10}$ ) cannot use two distinct divisors.

The count is $121-4=117.$

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 14 题

答案：C

难度评级：1830

解答：

其他年份的第 14 题