2019 AMC 12B 第 14 题

Question

设

S

为

100{,}000

的所有正整数因数组成的集合。有多少个数可以表示为

S

中两个不同元素的乘积？

Let

S

be the set of all positive integer divisors of

100{,}000.

How many numbers are the product of two distinct elements of

S?

98

100

117

119

121

答案：C

知识点：因数质因数分解补集计数

难度评级：1830

小提示：

因数形如

2^a5^b

，其中

0\le a,b\le5

；乘积形如

2^x5^y

，其中

0\le x,y\le10

。

Divisors are

2^a5^b

with

0\le a,b\le5;

products are

2^x5^y

with

0\le x,y\le10

大提示：

所有

11\times11

个乘积都能出现；去掉那些只能表示为某个因数乘以自身的值

All

11\times11

products arise; discard those obtainable only as a divisor times itself

解答：

因为

100{,}000=2^5\cdot5^5

，每个因数都形如

2^a5^b

，其中

0\le a,b\le5

。两个因数的乘积形如

2^x5^y

，其中

0\le x,y\le10

，且每个这样的

(x,y)

都能达到，得到

11\cdot11=121

个值。

我们需要两个不同的因数。一个值

2^x5^y

只能表示为某个因数乘以自身，恰好发生在

x

和

y

都只有一种拆分方式时，也就是

x,y\in\{0,10\}

。这

4

个角上的值（

1,\ 2^{10},\ 5^{10},\ 2^{10}5^{10}

）不能使用两个不同因数表示。

数量为

121-4=117

。

所以正确答案是 C。

Since

100{,}000=2^5\cdot5^5,

every divisor is

2^a5^b

with

0\le a,b\le5.

A product of two divisors is

2^x5^y

with

0\le x,y\le10,

and every such pair

(x,y)

is attainable, giving

11\cdot11=121

values.

We need two distinct divisors. A value

2^x5^y

is forced to be a divisor times itself only when both

x

and

y

have a unique split, which happens exactly when

x,y\in\{0,10\}.

Those

4

corner values (

1,\ 2^{10},\ 5^{10},\ 2^{10}5^{10}

) cannot use two distinct divisors.

The count is

121-4=117.

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 14 题

答案：C

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

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