2019 AMC 12A 第 22 题

先试着解答 2019 AMC 12A 第 22 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2019 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

圆

\omega

和

\gamma

都以

O

为圆心，半径分别为

20

和

17

。等边三角形

ABC

的内部位于

\omega

的内部但位于

\gamma

的外部，顶点

A

在

\omega

上，且包含边

BC

的直线与

\gamma

相切。线段

AO

与

BC

交于

P

，且

\dfrac{BP}{CP} = 3

。若

AB

可写成

\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}

的形式，其中

m

，

n

，

p

，

q

为正整数，且

\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1

，求

m + n + p + q

。

Circles

\omega

and

\gamma,

both centered at

O,

have radii

20

and

17,

respectively. Equilateral triangle

ABC,

whose interior lies in the interior of

\omega

but in the exterior of

\gamma,

has vertex

A

on

\omega,

and the line containing side

BC

is tangent to

\gamma.

Segments

AO

and

BC

intersect at

P,

and

\dfrac{BP}{CP} = 3.

Then

AB

can be written in the form

\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}

for positive integers

m,

n,

p,

q

with

\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.

What is

m + n + p + q?

42

86

92

114

130

答案：E

知识点：坐标几何等边三角形切线

难度评级：2310

小提示：

令

s = AB

。因为

\tfrac{BP}{CP} = 3

，所以

BP = \tfrac{3s}{4}

且

CP = \tfrac{s}{4}

。

Let

s = AB.

Since

\tfrac{BP}{CP} = 3,

we have

BP = \tfrac{3s}{4}

and

CP = \tfrac{s}{4}

大提示：

把

P

放在原点，令

BC

水平；

O

在直线

AP

上，距

BC

为

17

，且距

A

为

20

。

Place

P

at the origin with

BC

horizontal;

O

lies on line

AP

at distance

17

from

BC

and

20

from

A

解答：

令

s = AB

。因为

\dfrac{BP}{CP} = 3

，所以

BP = \dfrac{3s}{4}

且

CP = \dfrac{s}{4}

。把

P

放在原点，令

BC

在

x

-轴上，

B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right)

，

C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right)

，顶点

A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right)

。

点

P, O, A

共线，所以

O = t \cdot A

对某个标量

t

成立。两个条件确定它：

O

到直线

BC

的距离为

17

得

|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17

，且

A

在

\omega

上，得

|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20

，因为

|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}

。

解得

|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}

且

|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}

。有效构型中

O

与

A

位于

P

的两侧，所以

|t-1|s=|t|s+s

。因此

AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}\text{。}

因此

m + n + p + q = 80 + 13

+ 34 + 3 = 130

。

所以正确答案是 E。

Let

s = AB.

Since

\dfrac{BP}{CP} = 3,

we have

BP = \dfrac{3s}{4}

and

CP = \dfrac{s}{4}.

Put

P

at the origin with

BC

on the

x

-axis,

B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),

C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),

and apex

A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).

Points

P, O, A

are collinear, so

O = t \cdot A

for some scalar

t.

Two conditions pin it down:

O

is at distance

17

from line

BC,

giving

|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,

and

A

is on

\omega,

giving

|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20

since

|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.

Solving,

|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}

and

|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.

The valid configuration has

O

and

A

on opposite sides of

P,

so

|t-1|s=|t|s+s.

Therefore

AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.

Then

m + n + p + q = 80 + 13

+ 34 + 3 = 130.

Thus, the correct answer is E.

其他年份的第 22 题