Question

圆 $\omega$ 和 $\gamma$ 都以 $O$ 为圆心，半径分别为 $20$ 和 $17$ 。等边三角形 $ABC$ 的内部位于 $\omega$ 的内部但位于 $\gamma$ 的外部，顶点 $A$ 在 $\omega$ 上，且包含边 $BC$ 的直线与 $\gamma$ 相切。线段 $AO$ 与 $BC$ 交于 $P$ ，且 $\dfrac{BP}{CP} = 3$ 。若 $AB$ 可写成 $\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}$ 的形式，其中 $m, n, p, q$ 为正整数，且 $\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1$ ，求 $m + n + p + q$ 。

Circles $\omega$ and $\gamma,$ both centered at $O,$ have radii $20$ and $17,$ respectively. Equilateral triangle $ABC,$ whose interior lies in the interior of $\omega$ but in the exterior of $\gamma,$ has vertex $A$ on $\omega,$ and the line containing side $BC$ is tangent to $\gamma.$ Segments $AO$ and $BC$ intersect at $P,$ and $\dfrac{BP}{CP} = 3.$ Then $AB$ can be written in the form $\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}$ for positive integers $m, n, p, q$ with $\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.$ What is $m + n + p + q?$

$42$

$86$

$92$

$114$

$130$

答案：E

知识点：坐标几何等边三角形切线

难度评级：2310

解答：

令 $s = AB$ 。因为 $\dfrac{BP}{CP} = 3$ ，所以 $BP = \dfrac{3s}{4}$ 且 $CP = \dfrac{s}{4}$ 。把 $P$ 放在原点，令 $BC$ 在 $x$ -轴上， $B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right)$ ， $C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right)$ ，顶点 $A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right)$ 。

点 $P, O, A$ 共线，所以 $O = t \cdot A$ 对某个标量 $t$ 成立。两个条件确定它： $O$ 到直线 $BC$ 的距离为 $17$ 得 $|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17$ ，且 $A$ 在 $\omega$ 上，得 $|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20$ ，因为 $|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}$ 。

解得 $|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}$ 且 $|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}$ 。有效构型给出 $O$ $A$ $P$ ， $|t-1|s=|t|s+s$ 。 $AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.$

因此 $m + n + p + q = 80 + 13$ $+ 34 + 3 = 130$ 。

所以正确答案是 E。

Let $s = AB.$ Since $\dfrac{BP}{CP} = 3,$ we have $BP = \dfrac{3s}{4}$ and $CP = \dfrac{s}{4}.$ Put $P$ at the origin with $BC$ on the $x$ -axis, $B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),$ $C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),$ and apex $A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).$

Points $P, O, A$ are collinear, so $O = t \cdot A$ for some scalar $t.$ Two conditions pin it down: $O$ is at distance $17$ from line $BC,$ giving $|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,$ and $A$ is on $\omega,$ giving $|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20$ since $|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.$

Solving, $|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}$ and $|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.$ The valid configuration has $O$ and $A$ on opposite sides of $P,$ so $|t-1|s=|t|s+s.$ Therefore $AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.$

Then $m + n + p + q = 80 + 13$ $+ 34 + 3 = 130.$

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A 第 22 题

答案：E

难度评级：2310

解答：

其他年份的第 22 题