2018 AMC 12B 第 8 题

Question

线段

\overline{AB}

是一个圆的直径，且

AB=24

。点

C

在圆上且不等于

A

或

B

。当

C

绕圆移动时，

\triangle ABC

的重心轨迹是一条缺少两个点的闭曲线。取最接近的正整数，该曲线围成区域的面积是多少？

Line segment

\overline{AB}

is a diameter of a circle with

AB=24.

Point

C,

not equal to

A

or

B,

lies on the circle. As point

C

moves around the circle, the centroid (center of mass) of

\triangle ABC

traces out a closed curve missing two points. To the nearest positive integer, what is the area of the region bounded by this curve?

25

38

50

63

75

答案：C

知识点：重心位似圆面积

难度评级：1600

小提示：

令

O

为圆心；重心位于从

O

到

C

的三分之一处。

Let

O

be the center; the centroid lies one-third of the way from

O

toward

C

大提示：

当

C

在半径为

12

的圆上移动时，重心描出半径为

\tfrac13\cdot12

的圆。

As

C

moves on the circle of radius

12,

the centroid traces a circle of radius

\tfrac13\cdot12

解答：

令

O

为圆心。

\triangle ABC

的重心是

A

、

B

、

C

坐标的平均；由于

O

是

\overline{AB}

的中点，重心位于从

O

到

C

的三分之一处。

当

C

沿半径为

12

的圆运动时，重心沿半径为

\tfrac13\cdot12=4

的圆运动。该圆面积为

16\pi\approx50

。

所以正确答案是 C。

Let

O

be the center of the circle. The centroid of

\triangle ABC

is the average of

A,

B,

and

C;

since

O

is the midpoint of

\overline{AB},

the centroid lies one-third of the way from

O

to

C.

As

C

traces the circle of radius

12,

the centroid traces a circle of radius

\tfrac13\cdot12=4.

Its area is

16\pi\approx50.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 8 题

答案：C

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

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