2018 AMC 12A 第 9 题

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9.

下列哪一项描述了闭区间

[0, \pi]

内满足下面条件的

y

的最大取值集合：

\sin(x + y) \le \sin(x) + \sin(y)

对每个介于

0

和

\pi

之间（含端点）的

x

都成立？

Which of the following describes the largest subset of values of

y

within the closed interval

[0, \pi]

for which

\sin(x + y) \le \sin(x) + \sin(y)

for every

x

between

0

and

\pi,

inclusive?

y = 0

0 \le y \le \tfrac{\pi}{4}

0 \le y \le \tfrac{\pi}{2}

0 \le y \le \tfrac{3\pi}{4}

0 \le y \le \pi

答案：E

知识点：三角恒等式不等式

难度评级：1500

小提示：

展开

\sin(x+y)

= \sin x \cos y + \cos x \sin y

。

Expand

\sin(x+y)

= \sin x \cos y + \cos x \sin y

大提示：

对于

x, y \in [0, \pi]

有

\sin x, \sin y \ge 0

且

\cos x, \cos y \le 1

；逐项比较

For

x, y \in [0, \pi]

both

\sin x, \sin y \ge 0

and

\cos x, \cos y \le 1;

compare term by term

解答：

对于

0 \le x \le \pi

和

0 \le y \le \pi

，有

\sin x \ge 0

、

\sin y \ge 0

、

\cos x \le 1

且

\cos y \le 1

。因此

\begin{aligned} \sin(x+y) &= \sin x \cos y \\ &\quad {}+ \cos x \sin y \\ &\le \sin x + \sin y\text{。} \end{aligned}

所以这个不等式对每个满足

0 \le y \le \pi

的

y

都成立。

所以正确答案是 E。

For

0 \le x \le \pi

and

0 \le y \le \pi

we have

\sin x \ge 0,

\sin y \ge 0,

\cos x \le 1,

and

\cos y \le 1.

Hence

\begin{aligned} \sin(x+y) &= \sin x \cos y \\ &\quad {}+ \cos x \sin y \\ &\le \sin x + \sin y. \end{aligned}

The inequality therefore holds for every

y

with

0 \le y \le \pi.

Thus, the correct answer is E.

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