2018 AMC 12A 第 6 题

Question

正整数

m

和

n

满足

m + 10 \lt n + 1

，并且集合

\{m, m + 4, m + 10

，

n + 1

，

n + 2

，

2n\}

的平均数和中位数都等于

n

。

m + n

是多少？

For positive integers

m

and

n

such that

m + 10 \lt n + 1,

both the mean and the median of the set

\{m, m + 4, m + 10,

n + 1,

n + 2,

2n\}

are equal to

n.

What is

m + n?

20

21

22

23

24

答案：B

知识点：平均数中位数（数据）方程组

难度评级：1350

小提示：

条件

m + 10 \lt n + 1

迫使这六个数已经按递增顺序列出

The condition

m + 10 \lt n + 1

forces the six values to be listed in increasing order

大提示：

令中位数

\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n

，再令平均数等于

n

，然后解这两个方程

Set the median

\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n

and set the mean equal to

n,

then solve the two equations

解答：

因为

m + 10 \lt n + 1

，这六个数已经按递增顺序排列，所以中位数是中间两个数的平均：

\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n

，得到

m = n - 11

。平均数条件为

\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n\text{，}

因此

7n - 16 = 6n

，得

n = 16

。于是

m = 5

，所以

m + n = 21

。

所以正确答案是 B。

Because

m + 10 \lt n + 1,

the six numbers are already increasing, so the median is the average of the middle two:

\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n,

giving

m = n - 11.

The mean condition is

\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n,

so

7n - 16 = 6n

and

n = 16.

Then

m = 5,

and

m + n = 21.

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12A 第 6 题

答案：B

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

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