2018 AMC 12A 第 25 题

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25.

对于正整数

n

和非零数字

a

、

b

、

c

，设

A_n

为一个

n

位整数，其每一位都等于

a

；设

B_n

为一个

n

位整数，其每一位都等于

b

；设

C_n

为一个

2n

位（而不是

n

位）整数，其每一位都等于

c

。若存在至少两个

n

的取值使

C_n - B_n = A_n^2

，则

a + b + c

的最大可能值是多少？

For a positive integer

n

and nonzero digits

a,

b,

and

c,

let

A_n

be the

n

-digit integer each of whose digits is equal to

a;

let

B_n

be the

n

-digit integer each of whose digits is equal to

b;

and let

C_n

be the

2n

-digit (not

n

-digit) integer each of whose digits is equal to

c.

What is the greatest possible value of

a + b + c

for which there are at least two values of

n

such that

C_n - B_n = A_n^2?

12

14

16

18

20

答案：D

知识点：数字代数变形

难度评级：2650

小提示：

写

A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}

，同样写出

B_n

，且

C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9}

，再代入

C_n - B_n = A_n^2

。

Write

A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},

and likewise

B_n

and

C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},

then substitute into

C_n - B_n = A_n^2

大提示：

要对两个

n

的取值成立，迫使

10^n

的系数为零：

9c = a^2

且

9b - 9c = a^2

。

Requiring it for two values of

n

forces the coefficient of

10^n

to vanish:

9c = a^2

and

9b - 9c = a^2

解答：

利用

A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}

、

B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}

以及

C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9}

，方程

C_n - B_n = A_n^2

在除以

10^n - 1

并清分母后变为

(9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2\text{。}

若它要对两个不同的

n

成立，则

10^n

的系数必须为零，所以

9c = a^2

，进而

9b - 9c - a^2 = 0

。

于是

c = \tfrac{a^2}{9}

且

b = 2c

。因此

a \in \{3, 6, 9\}

，对应

c \in \{1, 4, 9\}

和

b \in \{2, 8, 18\}

；情况

b = 18

不是一个数字。有效三元组为

(a, b, c) = (3, 2, 1)

和

(6, 8, 4)

，而且确实有

4444 - 88 = 4356 = 66^2

。较大的数字和为

6 + 8 + 4 = 18

。

所以正确答案是 D。

Using

A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},

B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},

and

C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},

the equation

C_n - B_n = A_n^2

becomes, after dividing by

10^n - 1

and clearing fractions,

(9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2.

For this to hold at two different

n,

the coefficient of

10^n

must be zero, so

9c = a^2

and hence

9b - 9c - a^2 = 0.

Then

c = \tfrac{a^2}{9}

and

b = 2c.

So

a \in \{3, 6, 9\}

with

c \in \{1, 4, 9\}

and

b \in \{2, 8, 18\};

the case

b = 18

is not a digit. The valid triples are

(a, b, c) = (3, 2, 1)

and

(6, 8, 4),

and indeed

4444 - 88 = 4356 = 66^2.

The greater digit sum is

6 + 8 + 4 = 18.

Thus, the correct answer is D.

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