2017 AMC 12A 第 8 题

Question

三维空间中所有到线段

AB

距离不超过

3

个单位的点组成的区域体积为

216\pi

。

AB

的长度是多少？

The region consisting of all points in three-dimensional space within

3

units of line segment

AB

has volume

216\pi.

What is the length

AB?

6

12

18

20

24

答案：D

知识点：圆柱球体积

难度评级：1440

小提示：

这个区域是半径为

3

的圆柱，两端各有一个半球

The region is a cylinder of radius

3

with a hemisphere capping each end

大提示：

两个半球合成一个完整球：

9\pi h+\dfrac{4}{3}\pi 3^3=216\pi

。

The two hemispheres combine into a full sphere:

9\pi h+\dfrac{4}{3}\pi 3^3=216\pi

解答：

设

h=AB

。这个区域是一个半径为

3

、高为

h

的圆柱，两端各接一个半径为

3

的半球。

圆柱体积为

\pi\cdot3^2\cdot h=9\pi h

，两个半球合起来是一个球，体积为

\dfrac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi

。因此

9\pi h+36\pi=216\pi\text{，}

得

h=20

。

所以正确答案是 D。

Let

h=AB.

The region is a cylinder of radius

3

and height

h

with a hemisphere of radius

3

on each end.

The cylinder has volume

\pi\cdot3^2\cdot h=9\pi h,

and the two hemispheres together form a sphere of volume

\dfrac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi.

So

9\pi h+36\pi=216\pi,

giving

h=20.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A 第 8 题

答案：D

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

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