Question

复平面中一个中心对称六边形的顶点集合 $V$ 为对每个 $j$ ， $1\le j\le12$ ，从 $V$ 中随机选择一个元素 $z_j$ ，且各次选择相互独立。设 $P=\prod_{j=1}^{12}z_j$ 为所选 $12$ 个数的乘积。 $P=-1$ 的概率是多少？ $V=\left\{\begin{gathered} \sqrt2 i,\;-\sqrt2 i, \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1-i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1-i) \end{gathered}\right\}.$

The vertices $V$ of a centrally symmetric hexagon in the complex plane are given by $V=\left\{\begin{gathered} \sqrt2 i,\;-\sqrt2 i, \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1-i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1-i) \end{gathered}\right\}.$ For each $j,$ $1\le j\le12,$ an element $z_j$ is chosen from $V$ at random, independently of the other choices. Let $P=\prod_{j=1}^{12}z_j$ be the product of the $12$ numbers selected. What is the probability that $P=-1?$

$\dfrac{5\cdot11}{3^{10}}$

$\dfrac{5^2\cdot11}{2\cdot3^{10}}$

$\dfrac{5\cdot11}{3^9}$

$\dfrac{5\cdot7\cdot11}{2\cdot3^{10}}$

$\dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}}$

答案：E

知识点：复数二项概率

难度评级：2650

解答：

令 $A=\{\sqrt2 i,-\sqrt2 i\}$ （每个模为 $\sqrt2$ ），令 $B$ 为另外四个元素（每个模为 $\dfrac12$ ）。由于 $|P|=(\sqrt2)^{\#A}\left(\tfrac12\right)^{\#B}=1$ 强制 $\#A=8$ 且 $\#B=4$ ，必须恰有 $8$ 个因子来自 $A$ ， $4$ 个来自 $B$ 。

$8$ 个 $A$ 中元素的乘积等于 $\pm16$ （实数），而 $4$ 个 $B$ 中元素的乘积等于 $\pm\tfrac{1}{16},\pm\tfrac{i}{16}$ 中的一个。它们的乘积是 $\pm1,\pm i$ 中的一个，且四种结果等可能，所以这些配置中恰有 $\tfrac14$ 给出 $P=-1$ 。

出现 $8$ 个来自 $A$ 、 $4$ 个来自 $B$ 这种模式的概率为 $\binom{12}{4}\left(\tfrac13\right)^8\left(\tfrac23\right)^4=\dfrac{880}{3^{10}}$ 。再乘以 $\tfrac14$ 得到 $\begin{aligned} P&=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{880}{3^{10}} \\ &=\dfrac{220}{3^{10}}=\dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}}. \end{aligned}$

所以正确答案是 E。

Let $A=\{\sqrt2 i,-\sqrt2 i\}$ (each of magnitude $\sqrt2$ ) and $B$ be the other four elements (each of magnitude $\dfrac12$ ). Since $|P|=(\sqrt2)^{\#A}\left(\tfrac12\right)^{\#B}=1$ forces $\#A=8$ and $\#B=4,$ exactly $8$ factors must come from $A$ and $4$ from $B.$

A product of $8$ elements of $A$ equals $\pm16$ (real), and a product of $4$ elements of $B$ equals one of $\pm\tfrac{1}{16},\pm\tfrac{i}{16}.$ Their product is one of $\pm1,\pm i,$ each equally likely, so exactly $\tfrac14$ of these configurations give $P=-1.$

The chance of landing in the $8$ -from- $A$ , $4$ -from- $B$ pattern is $\binom{12}{4}\left(\tfrac13\right)^8\left(\tfrac23\right)^4=\dfrac{880}{3^{10}}.$ Multiplying by $\tfrac14$ gives $\begin{aligned} P&=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{880}{3^{10}} \\ &=\dfrac{220}{3^{10}}=\dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12A 第 25 题

答案：E

难度评级：2650

解答：

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