2017 AMC 12A 第 25 题

Question

复平面中一个中心对称六边形的顶点集合

V

为

V=\left\{\begin{gathered} \sqrt2 i,\;-\sqrt2 i, \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1-i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1-i) \end{gathered}\right\}\text{。}

对每个

j

，

1\le j\le12

，从

V

中随机选择一个元素

z_j

，且各次选择相互独立。设

P=\prod_{j=1}^{12}z_j

为所选

12

个数的乘积。

P=-1

的概率是多少？

The vertices

V

of a centrally symmetric hexagon in the complex plane are given by

V=\left\{\begin{gathered} \sqrt2 i,\;-\sqrt2 i, \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1-i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1-i) \end{gathered}\right\}.

For each

j,

1\le j\le12,

an element

z_j

is chosen from

V

at random, independently of the other choices. Let

P=\prod_{j=1}^{12}z_j

be the product of the

12

numbers selected. What is the probability that

P=-1?

\dfrac{5\cdot11}{3^{10}}

\dfrac{5^2\cdot11}{2\cdot3^{10}}

\dfrac{5\cdot11}{3^9}

\dfrac{5\cdot7\cdot11}{2\cdot3^{10}}

\dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}}

答案：E

知识点：复数二项概率

难度评级：2650

小提示：

两个元素

\pm\sqrt2 i

的模为

\sqrt2

；另外四个元素的模为

\dfrac12

。

The two elements

\pm\sqrt2 i

have magnitude

\sqrt2;

the other four have magnitude

\dfrac12

大提示：

要使

|P|=1

，需要恰有

8

个大模因子和

4

个小模因子，然后再让相位正确

For

|P|=1

you need exactly

8

of the large-magnitude factors and

4

of the small ones, then get the phase right

解答：

令

A=\{\sqrt2 i,-\sqrt2 i\}

（每个模为

\sqrt2

），令

B

为另外四个元素（每个模为

\dfrac12

）。由于

|P|=(\sqrt2)^{\#A}\left(\tfrac12\right)^{\#B}=1

强制

\#A=8

且

\#B=4

，必须恰有

8

个因子来自

A

，

4

个来自

B

。

8

个

A

中元素的乘积等于

\pm16

（实数），而

4

个

B

中元素的乘积等于

\pm\tfrac{1}{16},\pm\tfrac{i}{16}

中的一个。它们的乘积是

\pm1,\pm i

中的一个，且四种结果等可能，所以这些配置中恰有

\tfrac14

给出

P=-1

。

出现

8

个来自

A

、

4

个来自

B

这种模式的概率为

\binom{12}{4}\left(\tfrac13\right)^8\left(\tfrac23\right)^4=\dfrac{880}{3^{10}}

。再乘以

\tfrac14

得到

\begin{aligned} P&=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{880}{3^{10}} \\ &=\dfrac{220}{3^{10}}=\dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 E。

Let

A=\{\sqrt2 i,-\sqrt2 i\}

(each of magnitude

\sqrt2

) and

B

be the other four elements (each of magnitude

\dfrac12

). Since

|P|=(\sqrt2)^{\#A}\left(\tfrac12\right)^{\#B}=1

forces

\#A=8

and

\#B=4,

exactly

8

factors must come from

A

and

4

from

B.

A product of

8

elements of

A

equals

\pm16

(real), and a product of

4

elements of

B

equals one of

\pm\tfrac{1}{16},\pm\tfrac{i}{16}.

Their product is one of

\pm1,\pm i,

each equally likely, so exactly

\tfrac14

of these configurations give

P=-1.

The chance of landing in the

8

-from-

A

,

4

-from-

B

pattern is

\binom{12}{4}\left(\tfrac13\right)^8\left(\tfrac23\right)^4=\dfrac{880}{3^{10}}.

Multiplying by

\tfrac14

gives

\begin{aligned} P&=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{880}{3^{10}} \\ &=\dfrac{220}{3^{10}}=\dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12A 第 25 题

答案：E

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

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