Question

对某个小于 $1000$ 的正整数 $n$ ， $\dfrac1n$ 的十进制表示为 $0.\overline{abcdef}$ ，循环节长度为 $6$ ；而 $\dfrac{1}{n+6}$ 的十进制表示为 $0.\overline{wxyz}$ ，循环节长度为 $4$ 。 $n$ 位于哪个区间？

For a certain positive integer $n$ less than $1000,$ the decimal equivalent of $\dfrac1n$ is $0.\overline{abcdef},$ a repeating decimal of period $6,$ and the decimal equivalent of $\dfrac{1}{n+6}$ is $0.\overline{wxyz},$ a repeating decimal of period $4.$ In which interval does $n$ lie?

$[1,200]$

$[201,400]$

$[401,600]$

$[601,800]$

$[801,999]$

答案：B

知识点：循环小数乘法阶整除性

难度评级：2270

解答：

周期为 $6$ 要求 $n\mid10^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37.$ 周期为 $4$ 要求 $n+6\mid10^4-1=3^2\cdot11\cdot101$ ，但 $n+6\nmid10^2-1=3^2\cdot11$ （否则周期会是 $1$ 或 $2$ ）。因此 $101\mid n+6.$ 又因为 $n+6$ 整除 $3^2\cdot11\cdot101$ 且小于 $1006,$ 所以只有 $n+6=101,303,909,$ 三种可能，对应 $n=95,297,903.$ 其中只有 $297=3^3\cdot11$ 整除 $10^6-1,$ 所以 $n=297.$

最后， $10^6\equiv1\pmod{297},$ 而 $10^2\not\equiv1$ 且 $10^3\not\equiv1\pmod{297},$ 所以它的周期恰为 $6.$ 此外， $303$ 整除 $10^4-1$ 但不整除 $10^2-1,$ 所以 $1/303$ 的周期恰为 $4.$ 因此 $n=297$ 位于 $[201,400].$ 中。

因此，正确答案是 B。

Period $6$ requires $n\mid10^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37.$ Period $4$ requires $n+6\mid10^4-1=3^2\cdot11\cdot101$ but $n+6\nmid10^2-1=3^2\cdot11$ (else the period would be $1$ or $2$ ). Hence $101\mid n+6.$ Since $n+6$ also divides $3^2\cdot11\cdot101$ and is less than $1006,$ the only possibilities are $n+6=101,303,909,$ giving $n=95,297,903.$ Only $297=3^3\cdot11$ divides $10^6-1,$ so $n=297.$

Finally, $10^6\equiv1\pmod{297},$ while $10^2\not\equiv1$ and $10^3\not\equiv1\pmod{297},$ so its period is exactly $6.$ Also $303$ divides $10^4-1$ but not $10^2-1,$ so the period of $1/303$ is exactly $4.$ Thus $n=297$ lies in $[201,400].$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12B 第 22 题

答案：B

难度评级：2270

解答：

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