Question

有多少个正整数有序三元组 $(x,y,z)$ 满足 $\text{lcm}(x,y)=72$ ， $\text{lcm}(x,z)=600$ ，且 $\text{lcm}(y,z)=900$ ？

How many ordered triples $(x,y,z)$ of positive integers satisfy $\text{lcm}(x,y)=72,$ $\text{lcm}(x,z)=600,$ and $\text{lcm}(y,z)=900?$

$15$

$16$

$24$

$27$

$64$

答案：A

知识点：最小公倍数质因数分解分类讨论

难度评级：2160

解答：

因为 $\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2$ ，且 $\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2$ ，所以 $5^2$ 整除 $z$ ，而 $x$ 和 $y$ 都不能被 $5$ 整除。同理， $3^2$ 整除 $y$ ，而 $x$ 和 $z$ 都不能被 $3^2$ 整除；此外， $x$ 必须含有因子 $2^3$ 。

写 $x=2^3\cdot3^{\,j}$ 、 $y=2^{\,k}\cdot3^2$ 、 $z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2$ ，最小公倍数条件要求 $\max(j,n)=1$ ，且 $\max(k,m)=2$ 。 $(1,0),(0,1),(1,1)$ 有 $(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2)$ 种选择，有种选择，因此共有 $3\cdot5=15$ 个有序三元组。

所以正确答案是 A。

Because $\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2$ and $\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2,$ the factor $5^2$ divides $z$ while neither $x$ nor $y$ is divisible by $5.$ Also $3^2$ divides $y,$ while neither $x$ nor $z$ is divisible by $3^2,$ and $x$ must have the factor $2^3.$

Writing $x=2^3\cdot3^{\,j},$ $y=2^{\,k}\cdot3^2,$ and $z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2,$ the lcm conditions require $\max(j,n)=1$ and $\max(k,m)=2.$ The first pair can be $(1,0),(0,1),(1,1),$ and the second can be $(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2).$ Thus there are $3\cdot5=15$ ordered triples.

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12A 第 22 题

答案：A

难度评级：2160

解答：

其他年份的第 22 题