2015 AMC 12B 第 10 题

Question

有多少个互不全等的正面积整数边三角形，其周长小于

15

且既不是等边三角形，也不是等腰三角形，也不是直角三角形？

How many noncongruent integer-sided triangles with positive area and perimeter less than

15

are neither equilateral, isosceles, nor right triangles?

3

4

5

6

7

答案：C

知识点：三角不等式系统列举

难度评级：1520

小提示：

设边长

a \lt b \lt c

，三角形不等式给出周长

\gt 2c

。

With sides

a \lt b \lt c,

the triangle inequality gives perimeter

\gt 2c

大提示：

这迫使

c \le 6

；列出不等边三元组，并去掉直角三角形

3, 4, 5

。

This forces

c \le 6;

list scalene triples and drop the right triangle

3, 4, 5

解答：

设三条不同边为

a \lt b \lt c

。因为

a + b \gt c

，周长大于

2c

，所以

2c \lt 15

，从而

c \le 6

。

周长小于

15

的不等边三元组为

(6,5,3)

，

(6,5,2)

，

(6,4,3)

，

(5,4,3)

，

(5,4,2)

，和

(4,3,2)

。其中只有

(5,4,3)

是直角三角形，剩下

5

个。

因此，正确选项是 C。

Let the distinct sides be

a \lt b \lt c.

Since

a + b \gt c,

the perimeter exceeds

2c,

so

2c \lt 15

and

c \le 6.

The scalene triples with perimeter less than

15

are

(6,5,3),

(6,5,2),

(6,4,3),

(5,4,3),

(5,4,2),

and

(4,3,2).

Of these, only

(5,4,3)

is a right triangle, leaving

5.

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12B 第 10 题

答案：C

难度评级：1520

小提示：

大提示：

解答：

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