2015 AMC 12A 第 10 题

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10.

整数

x

和

y

满足

x \gt y \gt 0

且

x+y+xy = 80

。

x

是多少？

Integers

x

and

y

with

x \gt y \gt 0

satisfy

x+y+xy = 80.

What is

x?

8

10

15

18

26

答案：E

知识点：西蒙最爱的因式分解技巧丢番图方程

难度评级：1530

小提示：

两边同时加

1

，使左边可以因式分解

Add

1

to both sides so the left side factors

大提示：

(x+1)(y+1) = 81

；结合

x \gt y \gt 0

和

81 = 3^4

。

(x+1)(y+1) = 81;

use

x \gt y \gt 0

with

81 = 3^4

解答：

两边同时加

1

并因式分解，得

(x+1)(y+1) = 81 = 3^4\text{。}

因为

x

和

y

是不同的正整数且

x \gt y

，唯一可能是

x+1 = 3^3 = 27

且

y+1 = 3

。因此

x = 26

。

因此，正确答案是 E。

Adding

1

to both sides and factoring gives

(x+1)(y+1) = 81 = 3^4.

Because

x

and

y

are distinct positive integers with

x \gt y,

the only possibility is

x+1 = 3^3 = 27

and

y+1 = 3.

Therefore

x = 26.

Thus, the correct answer is E.

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