2014 AMC 12B 第 9 题

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9.

凸四边形

ABCD

满足

AB = 3

，

BC = 4

，

CD = 13

，

AD = 12

，且

\angle ABC = 90^\circ

，如图所示。这个四边形的面积是多少？

Convex quadrilateral

ABCD

has

AB = 3,

BC = 4,

CD = 13,

AD = 12,

and

\angle ABC = 90^\circ,

as shown. What is the area of the quadrilateral?

30

36

40

48

58.5

答案：B

知识点：勾股定理三角形面积面积分割

难度评级：1560

小提示：

用直角三角形

ABC

求对角线

AC

。

Use right triangle

ABC

to find diagonal

AC

大提示：

检查

AC

，

AD

，

CD

是否满足

AC^2 + AD^2 = CD^2

。

Check whether

AC,

AD,

CD

satisfy

AC^2 + AD^2 = CD^2

解答：

由直角三角形

ABC

中的勾股定理，

AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5

。

因为

5^2 + 12^2 = 13^2

，勾股定理逆定理说明

\angle DAC = 90^\circ

，所以

\triangle DAC

是直角三角形。

\triangle ABC

的面积是

\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6

，

\triangle DAC

的面积是

\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30

。四边形面积为

6 + 30 = 36

。

所以正确答案是 B。

By the Pythagorean Theorem in right triangle

ABC,

AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5.

Since

5^2 + 12^2 = 13^2,

the converse of the Pythagorean Theorem shows

\angle DAC = 90^\circ,

so

\triangle DAC

is right.

The area of

\triangle ABC

is

\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6

and the area of

\triangle DAC

is

\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30.

The quadrilateral has area

6 + 30 = 36.

Thus, the correct answer is B.

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