2014 AMC 12A 第 22 题

Question

数

5^{867}

介于

2^{2013}

和

2^{2014}

之间。有多少对整数

(m,n)

满足

1\le m\le2012

且

5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}\text{？}

The number

5^{867}

is between

2^{2013}

and

2^{2014}.

How many pairs of integers

(m,n)

are there such that

1\le m\le2012

and

5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}?

278

279

280

281

282

答案：B

知识点：指数方程组

难度评级：2270

小提示：

在相邻的

5^n

与

5^{n+1}

之间，可能有两个或三个

2

的幂。

Between consecutive powers

5^n

and

5^{n+1}

there are either two or three powers of

2

大提示：

题目要求区间内有三个这样的幂；若

d,t

分别表示含两个和三个二的幂的区间数，则

d+t=867

，且

2d+3t=2013

。

The inequality asks for three such powers; if

d,t

count the two-power and three-power gaps, then

d+t=867

and

2d+3t=2013

解答：

因为

2^2\lt5\lt2^3

，每个区间

(5^n,5^{n+1})

内含有两个或三个

2

的幂。不等式链

5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}

恰好在该区间含有三个连续的

2

的幂时成立，而且此时

m

唯一。

设

d

和

t

分别为

0\le n\le866

时区间

(5^n,5^{n+1})

内含两个和三个

2

的幂的区间数。由于

2^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014}

，这些区间内共有

2013

个

2

的幂，因此

d+t=867

，且

2d+3t=2013

。

解得

t=2013-2\cdot867=279

。

所以正确答案是 B。

Because

2^2\lt5\lt2^3,

each interval

(5^n,5^{n+1})

contains either two or three powers of

2.

The chain

5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}

holds exactly when the interval contains three consecutive powers of

2,

and then there is a unique such

m.

Let

d

and

t

be the numbers of intervals

(5^n,5^{n+1})

for

0\le n\le866

containing two and three powers of

2,

respectively. Since

2^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014}

there are

2013

powers of

2

in total, giving

d+t=867

and

2d+3t=2013.

Solving,

t=2013-2\cdot867=279.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12A 第 22 题

答案：B

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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