2013 AMC 12B 第 8 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

8.

直线

\ell_1

的方程为

3x - 2y = 1

，并经过点

A = (-1, -2)

。直线

\ell_2

的方程为

y = 1

，与

\ell_1

交于点

B

。直线

\ell_3

斜率为正，经过点

A

，并与

\ell_2

交于点

C

。

\triangle ABC

的面积为

3

。

\ell_3

的斜率是多少？

Line

\ell_1

has equation

3x - 2y = 1

and goes through

A = (-1, -2).

Line

\ell_2

has equation

y = 1

and meets line

\ell_1

at point

B.

Line

\ell_3

has positive slope, goes through point

A,

and meets

\ell_2

at point

C.

The area of

\triangle ABC

is

3.

What is the slope of

\ell_3?

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{4}

1

\dfrac{4}{3}

\dfrac{3}{2}

答案：B

知识点：坐标几何三角形面积斜率

难度评级：1460

小提示：

联立

3x - 2y = 1

与

y = 1

，求出

B

。

Find

B

by solving

3x - 2y = 1

together with

y = 1

大提示：

点

A

到直线

\ell_2

的距离为

3

，所以由

\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3

可求

BC

。

The distance from

A

to line

\ell_2

is

3,

so

\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3

gives

BC

解答：

联立

3x - 2y = 1

与

y = 1

，得

B = (1, 1)

。点

A = (-1, -2)

到直线

y = 1

的距离为

3

，所以

\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3

，从而

BC = 2

。于是

C = (3, 1)

或

C = (-1, 1)

；后者会使

\ell_3

竖直，所以

C = (3, 1)

。因此斜率为

\dfrac{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \dfrac34

。正确答案是 B。

Solving

3x - 2y = 1

with

y = 1

gives

B = (1, 1).

The distance from

A = (-1, -2)

to the line

y = 1

is

3,

so

\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3

gives

BC = 2.

Then

C = (3, 1)

or

C = (-1, 1);

the latter makes

\ell_3

vertical, so

C = (3, 1)

and the slope is

\dfrac{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \dfrac34.

Thus, the correct answer is B.

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