2013 AMC 12B 第 10 题

Question

Alex 有

75

个红色代币和

75

个蓝色代币。有一个摊位可以用两个红色代币换一个银色代币和一个蓝色代币；另一个摊位可以用三个蓝色代币换一个银色代币和一个红色代币。Alex 持续交换，直到无法再交换为止。最后 Alex 会有多少个银色代币？

Alex has

75

red tokens and

75

blue tokens. There is a booth where Alex can give two red tokens and receive in return a silver token and a blue token, and another booth where Alex can give three blue tokens and receive in return a silver token and a red token. Alex continues to exchange tokens until no more exchanges are possible. How many silver tokens will Alex have at the end?

62

82

83

102

103

答案：E

知识点：方程组不变量

难度评级：1550

小提示：

若第一个摊位交换

m

次，第二个摊位交换

n

次，则 Alex 剩下

75-(2m-n)

个红色代币和

75-(3n-m)

个蓝色代币。

After

m

exchanges at the first booth and

n

at the second, Alex has

75-(2m-n)

red and

75-(3n-m)

blue tokens

大提示：

交换停止时红色少于

2

个且蓝色少于

3

个；银色代币数为

m+n

。

Exchanges stop when fewer than

2

red and fewer than

3

blue remain; the silver count is

m+n

解答：

经过

m

次红色摊位交换和

n

次蓝色摊位交换后，Alex 有

75 - (2m - n)

个红色代币、

75-(3n-m)

个蓝色代币，以及

m+n

个银色代币。停止时，红色代币数为

0

或

1

，蓝色代币数为

0,1

，或

2

。对这六种情形求解代币方程，只得到

(m,n)=(59,44)

，终态为

(1,2)

，或

(m,n)=(60,45)

，终态为

(0,0)

。后者不可能到达：最后一次交换前的状态只能是

(-1,3)

或

(2,-1)

。因此 Alex 最终有

59+44=103

个银色代币。所以正确答案是 E。

After

m

red-booth and

n

blue-booth exchanges, Alex has

75 - (2m - n)

red tokens,

75-(3n-m)

blue tokens, and

m+n

silver tokens. At termination the red count is

0

or

1,

and the blue count is

0,1,

or

2.

Solving the token equations over these six cases leaves only

(m,n)=(59,44),

ending at

(1,2),

or

(m,n)=(60,45),

ending at

(0,0).

The latter is unreachable: its final exchange would have to start at either

(-1,3)

or

(2,-1).

Hence Alex finishes with

59+44=103

silver tokens. Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12B 第 10 题

答案：E

难度评级：1550

小提示：

大提示：

解答：

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