2013 AMC 12A 第 8 题

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8.

已知

x

和

y

是不同的非零实数，且

x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y}

，

xy

是多少？

Given that

x

and

y

are distinct nonzero real numbers such that

x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y},

what is

xy?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{2}

1

2

4

答案：D

知识点：代数变形因式分解

难度评级：1400

小提示：

两边同乘

xy

来消去分母

Multiply both sides by

xy

to clear the fractions

大提示：

结果可因式分解为

(x - y)(xy - 2) = 0

The result factors as

(x - y)(xy - 2) = 0

解答：

同乘

xy

得

x^2 y + 2y = xy^2 + 2x

，所以

\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0 \end{gathered}\text{。}

因为

x \ne y

，所以

xy = 2

。

因此，正确答案是 D。

Multiplying by

xy

gives

x^2 y + 2y = xy^2 + 2x,

so

\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0. \end{gathered}

Since

x \ne y,

it follows that

xy = 2.

Thus, the correct answer is D.

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