2011 AMC 12B 第 22 题

Question

设

T_1

是边长为

2011

，

2012

和

2013

的三角形。对

n\ge1

，若

T_n=\triangle ABC

，且

D

、

E

、

F

分别是

\triangle ABC

的内切圆与边

AB

、

BC

、

AC

的切点，那么若三角形存在，

T_{n+1}

的边长为

AD

、

BE

、

CF

。序列

(T_n)

中最后一个三角形的周长是多少？

Let

T_1

be a triangle with sides

2011,

2012,

and

2013.

For

n\ge1,

if

T_n=\triangle ABC

and

D,

E,

and

F

are the points of tangency of the incircle of

\triangle ABC

to the sides

AB,

BC,

and

AC,

respectively, then

T_{n+1}

is a triangle with side lengths

AD,

BE,

and

CF,

if it exists. What is the perimeter of the last triangle in the sequence

(T_n)?

\dfrac{1509}{8}

\dfrac{1509}{32}

\dfrac{1509}{64}

\dfrac{1509}{128}

\dfrac{1509}{256}

答案：D

知识点：内切圆、内心与内切圆半径递推三角不等式

难度评级：2350

小提示：

切线段长度满足

AD=\tfrac12(b+c-a)

，

BE

与

CF

类似。

The tangent lengths satisfy

AD=\tfrac12(b+c-a),

and similarly for

BE

and

CF

大提示：

每个三角形保持

(y-1,y,y+1)

的形式，且

y

每次减半；当

y\le2

时不满足三角形不等式。

Each triangle keeps the form

(y-1,y,y+1)

with

y

halving; it fails the triangle inequality once

y\le2

解答：

对边长为

a,b,c

的三角形，切线段长度为

AD=\tfrac12(b+c-a)

、

BE=\tfrac12(a+c-b)

、

CF=\tfrac12(a+b-c)

。若

T_n

的边长为

(y-1,y,y+1)

，则

T_{n+1}

的边长为

\left(\tfrac{y}{2}-1,\tfrac{y}{2},\tfrac{y}{2}+1\right)

。

从中间边为

2012

的

T_1

开始，中间边每步减半，且

T_{n+1}

的周长是

T_n

周长的

\tfrac12

。这种形式的三角形存在当且仅当中间边大于

2

。

T_n

的中间边为

\dfrac{2012}{2^{n-1}}

。它在

n=11

时第一次不超过

2

，所以最后一个有效三角形是

T_{10}

，其中间边为

\dfrac{2012}{2^9}

，周长为

3\cdot\dfrac{2012}{2^9}=\dfrac{6036}{512}=\dfrac{1509}{128}\text{。}

所以正确答案是 D。

For a triangle with sides

a,b,c,

the tangent lengths are

AD=\tfrac12(b+c-a),

BE=\tfrac12(a+c-b),

and

CF=\tfrac12(a+b-c).

If

T_n

has sides

(y-1,y,y+1),

then

T_{n+1}

has sides

\left(\tfrac{y}{2}-1,\tfrac{y}{2},\tfrac{y}{2}+1\right).

Starting from

T_1

with middle side

2012,

the middle side halves each step and the perimeter of

T_{n+1}

is

\tfrac12

the perimeter of

T_n.

A triangle of this form exists only while its middle side exceeds

2.

The middle side of

T_n

is

\dfrac{2012}{2^{n-1}}.

This first drops to

2

or below at

n=11,

so the last valid triangle is

T_{10},

whose middle side is

\dfrac{2012}{2^9}

and whose perimeter is

3\cdot\dfrac{2012}{2^9}=\dfrac{6036}{512}=\dfrac{1509}{128}.

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12B 第 22 题

答案：D

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

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