2010 AMC 12B 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

设

a

、

b

、

c

、

d

和

e

为正整数，且

a+b+c+d+e=2010

。令

M

为

a+b

、

b+c

、

c+d

和

d+e

中的最大值。

M

的最小可能值是多少？

Let

a,

b,

c,

d,

and

e

be positive integers with

a+b+c+d+e=2010,

and let

M

be the largest of the sums

a+b,

b+c,

c+d,

and

d+e.

What is the smallest possible value of

M?

670

671

802

803

804

答案：B

知识点：最优化不等式极端原理

难度评级：1670

小提示：

(a+b)+c+(d+e)=2010

，且

a+b

、

c

和

d+e

都至多为

M

(a+b)+c+(d+e)=2010,

and each of

a+b,

c,

and

d+e

is at most

M

大提示：

这迫使

3M\ge2010

；排除

M=670

，再构造达到界的例子

This forces

3M\ge2010;

rule out

M=670,

then build an example reaching the bound

解答：

a+b

，

d+e

，和

c

都至多为

M

（注意

c\le c+d\le M

）。相加得

2010=(a+b)+c+(d+e)

\le3M

，所以

M\ge670

。

如果

M=670

则

c=670

，但此时

b+c\ge671\gt M

，矛盾。因此

M\ge671

。

取

(a,b,c,d,e)=

(669,1,670,1,669)

，可达到

671

，其相邻两项和为

670,671,671,670

。

因此，正确答案是 B。

Each of

a+b,

d+e,

and

c

is at most

M

(note

c\le c+d\le M

). Adding,

2010=(a+b)+c+(d+e)

\le3M,

so

M\ge670.

If

M=670,

then

c=670,

but then

b+c\ge671\gt M,

a contradiction. Hence

M\ge671.

The value

671

is reached by

(a,b,c,d,e)=

(669,1,670,1,669),

whose consecutive-pair sums are

670,671,671,670.

Thus, the correct answer is B.

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