2009 AMC 12B 第 22 题

Question

平行四边形

ABCD

的面积为

1{,}000{,}000

。顶点

A

在

(0, 0)

，其余顶点都在第一象限。顶点

B

和

D

分别是在直线

y = x

和

y = kx

上的格点，其中

k \gt 1

是整数。这样的平行四边形有多少个？

Parallelogram

ABCD

has area

1{,}000{,}000.

Vertex

A

is at

(0, 0)

and all other vertices are in the first quadrant. Vertices

B

and

D

are lattice points on the lines

y = x

and

y = kx

for some integer

k \gt 1,

respectively. How many such parallelograms are there?

49

720

784

2009

2048

答案：C

知识点：格点隔板法质因数分解

难度评级：2340

小提示：

设

B = (b, b)

、

D = (d, kd)

，平行四边形面积为

(k - 1)bd

。

With

B = (b, b)

and

D = (d, kd),

the area of the parallelogram is

(k - 1)bd

大提示：

需要

(k - 1)bd = 10^6 = 2^6 \cdot 5^6

；数出分成三个正整数的有序因式分解数。

You need

(k - 1)bd = 10^6 = 2^6 \cdot 5^6

; count ordered factorizations into three positive integers

解答：

设

B = (b, b)

、

D = (d, kd)

，其中

b, d, k

为正整数且

k \gt 1

。面积条件给出

(k - 1)bd = 1{,}000{,}000 = 2^6 \cdot 5^6

。

每个平行四边形对应一个正整数有序三元组

(k - 1, b, d)

，其乘积为

2^6 \cdot 5^6

。六个因子

2

在三个位置中的分配数为

\binom{6 + 2}{2} = 28

，因子

5

也有

28

种分配，所以共有

28^2 = 784

个。

所以正确答案是 C。

Let

B = (b, b)

and

D = (d, kd)

with

b, d, k

positive integers and

k \gt 1.

The area is

(k - 1)bd = 1{,}000{,}000 = 2^6 \cdot 5^6.

Each parallelogram corresponds to an ordered triple

(k - 1, b, d)

of positive integers with product

2^6 \cdot 5^6.

The six

2

’s distribute among the three factors in

\binom{6 + 2}{2} = 28

ways, and likewise the six

5

’s in

28

ways, giving

28^2 = 784.

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12B 第 22 题

答案：C

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

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