Question

点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 位于 $3$ 维空间中，满足 $AB=BC=CD$ $=DE=EA=2$ ，且 $\angle ABC=\angle CDE$ $=\angle DEA=90^\circ$ 。 $\triangle ABC$ 所在平面平行于 $\overline{DE}$ 。求 $\triangle BDE$ 的面积。

Points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E$ are located in $3$ -dimensional space with $AB=BC=CD$ $=DE=EA=2$ and $\angle ABC=\angle CDE$ $=\angle DEA=90^\circ.$ The plane of $\triangle ABC$ is parallel to $\overline{DE}.$ What is the area of $\triangle BDE?$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

答案：C

知识点：立体几何坐标几何三角形面积

难度评级：2400

解答：

取 $D=(-1,0,0)$ 、 $E=(1,0,0)$ ，令 $\triangle ABC$ 在平面 $z=k\gt0$ 中。由于 $\angle CDE$ 和 $\angle DEA$ 为直角， $A$ 和 $C$ 分别位于以 $E$ 和 $D$ 为圆心、半径为 $2$ 的圆上；这两个圆所在的平面分别为 $x=1$ 和 $x=-1$ 。因此 $A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k)$ ，其中 $y_j=\pm\sqrt{4-k^2}$ 。

因为 $\angle ABC=90^\circ$ 有 $AC=2\sqrt2$ ，这迫使 $y_1=-y_2$ 。取 $y_1=1$ ， $y_2=-1$ ，得 $k=\sqrt3$ ，于是 $A=(1,1,\sqrt3)$ ， $C=(-1,-1,\sqrt3)$ ，而 $B$ 为 $(1,-1,\sqrt3)$ 或 $(-1,1,\sqrt3)$ 。

第一种情况下 $BE=2$ 且 $BE\perp DE$ ；第二种情况下 $BD=2$ 且 $BD\perp DE$ 。无论哪种， $\triangle BDE$ 的两条垂直边长度分别为 $2$ 和 $2$ ，面积为 $\tfrac12(2)(2)=2$ 。

所以正确答案是 C。

Set $D=(-1,0,0)$ and $E=(1,0,0),$ and let $\triangle ABC$ lie in the plane $z=k\gt0.$ Because $\angle CDE$ and $\angle DEA$ are right angles, $A$ and $C$ lie on radius- $2$ circles centered at $E$ and $D$ in the planes $x=1$ and $x=-1,$ so $A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k)$ with $y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.$

Since $\angle ABC=90^\circ,$ $AC=2\sqrt2,$ which forces $y_1=-y_2.$ Taking $y_1=1,$ $y_2=-1,$ gives $k=\sqrt3,$ so $A=(1,1,\sqrt3),$ $C=(-1,-1,\sqrt3),$ and $B$ is $(1,-1,\sqrt3)$ or $(-1,1,\sqrt3).$

In the first case $BE=2$ with $BE\perp DE;$ in the second $BD=2$ with $BD\perp DE.$ Either way $\triangle BDE$ has legs $2$ and $2,$ so its area is $\tfrac12(2)(2)=2.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12B 第 25 题

答案：C

难度评级：2400

解答：

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