2007 AMC 12B 第 14 题

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14.

点

P

在等边

\triangle ABC

内。点

Q

、

R

、

S

分别是从

P

到

\overline{AB}

、

\overline{BC}

、

\overline{CA}

的垂足。已知

PQ=1

、

PR=2

、

PS=3

，求

AB

。

Point

P

is inside equilateral

\triangle ABC.

Points

Q,

R,

and

S

are the feet of the perpendiculars from

P

to

\overline{AB},

\overline{BC},

and

\overline{CA},

respectively. Given that

PQ=1,

PR=2,

and

PS=3,

what is

AB?

4

3\sqrt{3}

6

4\sqrt{3}

9

答案：D

知识点：面积分割等边三角形三角形面积

难度评级：1680

小提示：

把

\triangle ABC

分成

\triangle PAB

、

\triangle PBC

、

\triangle PCA

，垂线长度作为高。

Split

\triangle ABC

into

\triangle PAB,

\triangle PBC,

\triangle PCA,

using the perpendiculars as heights

大提示：

三个面积和为

\tfrac12 s(1+2+3)

，也等于

\tfrac{\sqrt3}{4}s^2

。

Their areas sum to

\tfrac12 s(1+2+3),

which also equals

\tfrac{\sqrt3}{4}s^2

解答：

设

s=AB

。连接

P

与各顶点，把三角形分成

\triangle PAB

、

\triangle PBC

、

\triangle PCA

，它们的面积分别为

\tfrac{s}{2}

、

s

、

\tfrac{3s}{2}

。

这些面积总和为

3s

，必须等于等边三角形面积

\tfrac{\sqrt3}{4}s^2

。因此

3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2\text{，}

得

s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3

。

所以正确答案是 D。

Let

s=AB.

Joining

P

to the vertices splits the triangle into

\triangle PAB,

\triangle PBC,

and

\triangle PCA,

with areas

\tfrac{s}{2},

s,

and

\tfrac{3s}{2}.

Their total is

3s,

which must equal the area

\tfrac{\sqrt3}{4}s^2

of the equilateral triangle. So

3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2,

giving

s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.

Thus, the correct answer is D.

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