2007 AMC 12A 第 8 题

Question

在钟面上画一个星形多边形：从每个数字向顺时针数第五个数字画一条弦。也就是说，画从

12

到

5

、从

5

到

10

、从

10

到

3

的弦，依此类推，最后回到

12

。这个星形多边形每个顶点处的角是多少度？

A star-polygon is drawn on a clock face by drawing a chord from each number to the fifth number counted clockwise from that number. That is, chords are drawn from

12

to

5,

from

5

to

10,

from

10

to

3,

and so on, ending back at

12.

What is the degree measure of the angle at each vertex in the star-polygon?

20

24

30

36

60

答案：C

知识点：圆周角弧

难度评级：1350

小提示：

每个顶点角都是过钟面数字的圆中的圆周角。

Each vertex angle is an inscribed angle in the circle through the clock numbers

大提示：

在一个顶点相交的两条弦截出的弧跨过两个小时刻度，即

60^\circ

。

The two chords meeting at a vertex cut off an arc spanning two hour-marks, or

60^\circ

解答：

考虑在数字

5

处相交的两条弦。它们分别连到

12

和

10

，因此它们所对的弧从

10

到

12

。

这段弧跨过十二个小时刻度中的两个，所以其度数为

\tfrac{2}{12}\cdot 360^\circ=60^\circ

。

根据圆周角定理，顶点角等于所对弧的一半，即

\tfrac12\cdot 60^\circ=30^\circ

。由对称性，每个顶点角都是

30^\circ

。

因此，正确答案是 C。

Consider the two chords meeting at the number

5.

They run to

12

and to

10,

so the arc they subtend extends from

10

to

12.

That arc spans two of the twelve hour-marks, so its measure is

\tfrac{2}{12}\cdot 360^\circ=60^\circ.

By the Inscribed Angle Theorem, the vertex angle is half the arc, or

\tfrac12\cdot 60^\circ=30^\circ.

By symmetry every vertex angle equals

30^\circ.

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12A 第 8 题

答案：C

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

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