2006 AMC 12A 第 9 题

Question

Oscar 用

\$1.00

买了

13

支铅笔和

3

块橡皮。一支铅笔比一块橡皮贵，且每件物品的价格都是整数美分。一支铅笔和一块橡皮的总价是多少美分？

Oscar buys

13

pencils and

3

erasers for

\$1.00.

A pencil costs more than an eraser, and both items cost a whole number of cents. What is the total cost, in cents, of one pencil and one eraser?

10

12

15

18

20

答案：A

知识点：丢番图方程整除性

难度评级：1430

小提示：

分组为

3

组“一支铅笔加一块橡皮”，再加

10

支额外铅笔。

Group as

3

sets of one pencil and one eraser, plus

10

extra pencils

大提示：

若

s

是一支铅笔和一块橡皮的总价，则

3s + 10p = 100

，所以

3s

是

10

的倍数。

If

s

is the cost of one pencil plus one eraser, then

3s + 10p = 100,

so

3s

is a multiple of

10

解答：

设

p

为一支铅笔的价格，

s

为一支铅笔加一块橡皮的总价，单位为美分。那么

13p + 3e = 3s + 10p = 100\text{，}

所以

3s

是

10

的倍数且小于

100

。因此

s \in \{10, 20, 30\}

，对应的

p = 7, 4, 1

。

因为铅笔比橡皮贵，

p \gt \tfrac{s}{2}

，只有

s = 10

满足（铅笔

7

美分，橡皮

3

美分）。所以一支铅笔和一块橡皮共

10

美分。

因此，正确答案是 A。

Let

p

be a pencil’s cost and

s

the cost of one pencil plus one eraser, in cents. Then

13p + 3e = 3s + 10p = 100,

so

3s

is a multiple of

10

less than

100.

Hence

s \in \{10, 20, 30\},

with

p = 7, 4, 1

respectively.

Since a pencil costs more than an eraser,

p \gt \tfrac{s}{2},

which holds only for

s = 10

(pencil

7,

eraser

3

). So one pencil and one eraser cost

10

cents.

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 12A 第 9 题

答案：A

难度评级：1430

小提示：

大提示：

解答：

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