2005 AMC 12B 第 13 题

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13.

已知

4^{x_1} = 5

、

5^{x_2} = 6

、

6^{x_3} = 7

，

\ldots

，

127^{x_{124}} = 128

。

x_1 x_2 \cdots x_{124}

是多少？

Suppose that

4^{x_1} = 5,

5^{x_2} = 6,

6^{x_3} = 7,

\ldots,

127^{x_{124}} = 128.

What is

x_1 x_2 \cdots x_{124}?

2

\dfrac{5}{2}

3

\dfrac{7}{2}

4

答案：D

知识点：对数裂项相消

难度评级：1570

小提示：

每个方程给出

x_k = \log_{k+3}(k+4)

。

Each equation gives

x_k = \log_{k+3}(k+4)

大提示：

这个乘积可以裂项相消为

\log_4 128

。

The product telescopes to

\log_4 128

解答：

由

4^{x_1} = 5

得

x_1 = \log_4 5

，一般地

x_k = \log_{k+3}(k+4)

。

这个乘积会裂项相消：

\begin{aligned} &x_1 x_2 \cdots x_{124} \\ &= \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdots \log_{127} 128 \\ &= \log_4 128 \end{aligned}\text{。}

因为

128 = 2^7

且

4 = 2^2

，结果为

\dfrac{7\log 2}{2\log 2} = \dfrac72

。

所以正确答案是 D。

From

4^{x_1} = 5

we get

x_1 = \log_4 5,

and in general

x_k = \log_{k+3}(k+4).

The product telescopes:

\begin{aligned} &x_1 x_2 \cdots x_{124} \\ &= \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdots \log_{127} 128 \\ &= \log_4 128. \end{aligned}

Since

128 = 2^7

and

4 = 2^2,

this equals

\dfrac{7\log 2}{2\log 2} = \dfrac72.

Thus, the correct answer is D.

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