2003 AMC 12B 第 8 题

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8.

令

\clubsuit(x)

表示正整数

x

的各位数字之和。例如，

\clubsuit(8) = 8

，且

\clubsuit(123) = 1 + 2 + 3 = 6

。有多少个两位数

x

满足

\clubsuit(\clubsuit(x)) = 3

？

Let

\clubsuit(x)

denote the sum of the digits of the positive integer

x.

For example,

\clubsuit(8) = 8

and

\clubsuit(123) = 1 + 2 + 3 = 6.

For how many two-digit values of

x

is

\clubsuit(\clubsuit(x)) = 3?

3

4

6

9

10

答案：E

知识点：数字分类讨论

难度评级：1390

小提示：

令

y = \clubsuit(x)

。对两位数

x

，

y

介于

1

和

18

之间

Let

y = \clubsuit(x).

For a two-digit

x,

y

is between

1

and

18

大提示：

\clubsuit(y) = 3

迫使

y = 3

或

y = 12

；分别数出数字和为这些值的两位数

x

\clubsuit(y) = 3

forces

y = 3

or

y = 12;

count two-digit

x

with each digit sum

解答：

令

y = \clubsuit(x)

。因为

x \le 99

，所以

y \le 18

。因此

\clubsuit(y) = 3

要求

y = 3

或

y = 12

。

数字和为

3

的两位数是

12, 21, 30

（

3

个），数字和为

12

的两位数是

39, 48, 57, 66, 75, 84, 93

（

7

个），共

10

个。

因此，正确答案是 E。

Let

y = \clubsuit(x).

Since

x \le 99,

we have

y \le 18.

Then

\clubsuit(y) = 3

requires

y = 3

or

y = 12.

The two-digit numbers with digit sum

3

are

12, 21, 30

(

3

values), and those with digit sum

12

are

39, 48, 57, 66, 75, 84, 93

(

7

values), for

10

in all.

Thus, the correct answer is E.

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