2001 AMC 12 第 9 题

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9.

设

f

是一个函数，对所有正实数

x

和

y

都满足

f(xy) = \dfrac{f(x)}{y}

。若

f(500) = 3

，则

f(600)

的值是多少？

Let

f

be a function satisfying

f(xy) = \dfrac{f(x)}{y}

for all positive real numbers

x

and

y.

If

f(500) = 3,

what is the value of

f(600)?

1

2

\dfrac{5}{2}

3

\dfrac{18}{5}

答案：C

知识点：函数方程换元法

难度评级：1440

小提示：

把

600

写成

500

乘以一个方便的因数

Write

600

as

500

times a convenient factor

大提示：

f(600) = f\!\left(500 \cdot \dfrac{6}{5}\right) = \dfrac{f(500)}{\frac{6}{5}}

解答：

取

x = 500

，且令

y = \dfrac{6}{5}

，使得

xy = 600

。则

f(600) = \dfrac{f(500)}{\frac{6}{5}} = \dfrac{3}{\frac{6}{5}} = \dfrac{5}{2}\text{。}

因此，正确答案是 C。

Choose

x = 500

and

y = \dfrac{6}{5}

so that

xy = 600.

Then

f(600) = \dfrac{f(500)}{\frac{6}{5}} = \dfrac{3}{\frac{6}{5}} = \dfrac{5}{2}.

Thus, the correct answer is C.

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