2010 AMC 12A Problema 3

Question

El rectángulo

ABCD,

mostrado abajo, comparte

50\%

de su área con el cuadrado

EFGH.

El cuadrado

EFGH

comparte

20\%

de su área con el rectángulo

ABCD.

¿Cuánto vale

\dfrac{AB}{AD}

?

Rectangle

ABCD,

pictured below, shares

50\%

of its area with square

EFGH.

Square

EFGH

shares

20\%

of its area with rectangle

ABCD.

What is

\dfrac{AB}{AD}?

4

5

6

8

10

Respuesta: E

Conceptos:razón de áreas porcentaje

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Sea

s

la longitud del lado del cuadrado; el traslape sombreado tiene ancho

s

y altura

AD

.

Let

s

be the side length of the square; the shaded overlap has width

s

and height

AD

Pista grande:

La mitad del área del rectángulo es igual al traslape, lo que da

AB=2s;

un quinto del área del cuadrado da

AD=\tfrac{s}{5}

.

Half the rectangle’s area equals the overlap, giving

AB=2s;

one fifth of the square’s area gives

AD=\tfrac{s}{5}

Solución:

Sea

s

la longitud del lado del cuadrado

EFGH.

El traslape sombreado tiene ancho

s

y altura

AD,

así que su área es

s\cdot AD.

Como el traslape es el

50\%

del rectángulo,

s\cdot AD=\tfrac12\,AB\cdot AD,

así que

AB=2s.

Como es el

20\%

del cuadrado,

s\cdot AD=\tfrac15 s^2,

así que

AD=\tfrac{s}{5}.

Por lo tanto

\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{2s}{\frac{s}{5}}=10.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let

s

be the side length of square

EFGH.

The shaded overlap has width

s

and height

AD,

so its area is

s\cdot AD.

Because the overlap is

50\%

of the rectangle,

s\cdot AD=\tfrac12\,AB\cdot AD,

so

AB=2s.

Because it is

20\%

of the square,

s\cdot AD=\tfrac15 s^2,

so

AD=\tfrac{s}{5}.

Therefore

\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{2s}{\frac{s}{5}}=10.

Thus, E is the correct answer.