Question

En el octágono equiangular $CAROLINE,$ se tiene $CA = RO = LI = NE = \sqrt{2}$ y $AR = OL = IN = EC = 1.$ El octágono autointersecante $CORNELIA$ encierra seis regiones triangulares que no se solapan. Sea $K$ el área encerrada por $CORNELIA,$ es decir, el área total de las seis regiones triangulares. Entonces $K = \frac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $a + b.$

In equiangular octagon $CAROLINE,$ $CA = RO = LI = NE = \sqrt{2}$ and $AR = OL = IN = EC = 1.$ The self-intersecting octagon $CORNELIA$ encloses six non-overlapping triangular regions. Let $K$ be the area enclosed by $CORNELIA,$ that is, the total area of the six triangular regions. Then $K = \frac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. Find $a + b.$

Respuesta

Respuesta: 23

Conceptos:polígono equiángulo geometría analítica descomposición de áreas simetría

Nivel de dificultad: 2640

Solución:

Como los ángulos interiores son todos de $135^\circ$ y los lados de $\sqrt{2}$ son diagonales de cuadrados unitarios, el octágono encaja en una red: $C = (0, 0),$ $A = (1, 1),$ $R = (2, 1),$ $O = (3, 0),$ $L = (3, -1),$ $I = (2, -2),$ $N = (1, -2),$ $E = (0, -1).$ El camino $CORNELIA$ queda invariante bajo la rotación de $180^\circ$ alrededor de $(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$ Sean $Y$ y $Z$ los puntos donde $AI$ y $RN$ cortan a $CO,$ y sea $W = AI \cap RN.$ El segmento $AI$ tiene pendiente $-3,$ así que $Y = (\tfrac{4}{3}, 0),$ y por simetría $Z = (\tfrac{5}{3}, 0)$ y $W = (\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$

Las seis regiones encerradas son los cuatro triángulos congruentes de las esquinas, como $CAY$ , y los dos pequeños triángulos congruentes, como $YZW.$ El triángulo $CAY$ tiene base $CY = \tfrac{4}{3}$ y altura $1,$ así que su área es $\tfrac{2}{3}.$ El triángulo $YZW$ tiene base $YZ = \tfrac{1}{3}$ y altura $\tfrac{1}{2},$ así que su área es $\tfrac{1}{12}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} K &= 4 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{12} \\ &= \frac{8}{3} + \frac{1}{6} = \frac{17}{6}, \end{aligned}$ y $a + b = 17 + 6 = 23.$

Since the interior angles are all $135^\circ$ and the $\sqrt{2}$ sides are diagonals of unit squares, the octagon fits on a lattice: $C = (0, 0),$ $A = (1, 1),$ $R = (2, 1),$ $O = (3, 0),$ $L = (3, -1),$ $I = (2, -2),$ $N = (1, -2),$ $E = (0, -1).$ The path $CORNELIA$ is carried to itself by the $180^\circ$ rotation about $(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$ Let $Y$ and $Z$ be the points where $AI$ and $RN$ cross $CO,$ and let $W = AI \cap RN.$ Segment $AI$ has slope $-3,$ so $Y = (\tfrac{4}{3}, 0),$ and by symmetry $Z = (\tfrac{5}{3}, 0)$ and $W = (\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$

The six enclosed regions are the four congruent corner triangles like $CAY$ and the two small congruent triangles like $YZW.$ Triangle $CAY$ has base $CY = \tfrac{4}{3}$ and height $1,$ so its area is $\tfrac{2}{3}.$ Triangle $YZW$ has base $YZ = \tfrac{1}{3}$ and height $\tfrac{1}{2},$ so its area is $\tfrac{1}{12}.$ Therefore $\begin{aligned} K &= 4 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{12} \\ &= \frac{8}{3} + \frac{1}{6} = \frac{17}{6}, \end{aligned}$ and $a + b = 17 + 6 = 23.$

2018 AIME II Problema 4

Respuesta: 23

Nivel de dificultad: 2640

Solución:

El Problema 4 en otros años