Question

Para cualquier entero positivo $x,$ sea $S(x)$ la suma de los dígitos de $x,$ y sea $T(x)$ igual a $|S(x + 2) - S(x)|.$ Por ejemplo, $T(199)$ $= |S(201) - S(199)|$ $= |3 - 19|$ $= 16.$ ¿Cuántos valores $T(x)$ no exceden $1999$ ?

For any positive integer $x,$ let $S(x)$ be the sum of the digits of $x,$ and let $T(x)$ be $|S(x + 2) - S(x)|.$ For example, $T(199)$ $= |S(201) - S(199)|$ $= |3 - 19|$ $= 16.$ How many values $T(x)$ do not exceed $1999?$

Respuesta

Respuesta: 223

Conceptos:dígitos sucesión aritmética análisis por casos

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Si el último dígito de $x$ es a lo sumo $7,$ sumar $2$ no cambia ningún otro dígito, así que $T(x) = 2.$ En caso contrario hay acarreo. Si $x$ termina en el dígito $8$ precedido por exactamente $m \ge 0$ nueves, entonces $x + 2$ reemplaza $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}8$ por $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m}0,$ así que $S(x + 2) - S(x) = 1 - 9m - 8$ y $T(x) = 9m + 7.$ Si $x$ termina en exactamente $m \ge 1$ nueves, entonces $x + 2$ reemplaza $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}$ por $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m - 1}1,$ así que $S(x + 2) - S(x) = 2 - 9m$ y $T(x) = 9m - 2.$

Ambas familias con acarreo dan exactamente los valores $7, 16, 25, \ldots,$ es decir, $9j + 7$ para $j \ge 0,$ y cada uno de esos valores se alcanza. Así que los valores posibles de $T$ son $2$ junto con todos los $9j + 7.$ Exigir $9j + 7 \le 1999$ da $j \le 221,$ lo que son $222$ valores, y $T = 2$ añade uno más, para un total de $223.$

If the last digit of $x$ is at most $7,$ adding $2$ changes no other digit, so $T(x) = 2.$ Otherwise there is carrying. If $x$ ends in the digit $8$ preceded by exactly $m \ge 0$ nines, then $x + 2$ replaces $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}8$ by $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m}0,$ so $S(x + 2) - S(x) = 1 - 9m - 8$ and $T(x) = 9m + 7.$ If $x$ ends in exactly $m \ge 1$ nines, then $x + 2$ replaces $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}$ by $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m - 1}1,$ so $S(x + 2) - S(x) = 2 - 9m$ and $T(x) = 9m - 2.$

Both carrying families give exactly the values $7, 16, 25, \ldots,$ that is, $9j + 7$ for $j \ge 0,$ and every such value occurs. So the possible values of $T$ are $2$ together with all $9j + 7.$ Requiring $9j + 7 \le 1999$ gives $j \le 221,$ which is $222$ values, and $T = 2$ adds one more, for a total of $223.$

1999 AIME Problema 5

Respuesta: 223

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

El Problema 5 en otros años