Question

Halla el entero positivo

n

para el cual

\begin{aligned}&\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\lfloor\log_2 3\rfloor\\&\quad+\cdots+\lfloor\log_2 n\rfloor=1994.\end{aligned}

(Para un número real

x,

\lfloor x\rfloor

es el mayor entero que no excede a

x.

)

Find the positive integer

n

for which

\begin{aligned}&\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\lfloor\log_2 3\rfloor\\&\quad+\cdots+\lfloor\log_2 n\rfloor=1994.\end{aligned}

(For real

x,

\lfloor x\rfloor

is the greatest integer not exceeding

x.

)

Respuesta

Agrupa los enteros que tienen el mismo valor de

\lfloor\log_2 k\rfloor

Group integers having the same value of

\lfloor\log_2 k\rfloor

Calcula la suma hasta

255

; a partir de ahí, cada nuevo término aporta inicialmente

8

Compute the sum through

255

, after which every new term initially contributes

8

Para

2^j\leq k<2^{j+1},

el sumando es

j.

Por lo tanto, la suma hasta

255=2^8-1

es

\sum_{j=0}^7j2^j=(8-2)2^8+2=1538.

La diferencia

1994-1538=456

es

57\cdot8,

así que incluimos

57

enteros más a partir de

256.

Por consiguiente,

n=255+57=312.

For

2^j\leq k<2^{j+1},

the summand is

j.

Thus the sum through

255=2^8-1

is

\sum_{j=0}^7j2^j=(8-2)2^8+2=1538.

The remaining

1994-1538=456

is

57\cdot8,

so we include

57

more integers beginning with

256.

Hence

n=255+57=312.