Question

Supón que

|x_i|\lt1

para

i=1,

2,

\ldots,

n.

Supón además que

\begin{aligned}&|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\&=19+\bigl|x_1+x_2\\&\qquad+\cdots+x_n\bigr|.\end{aligned}

¿Cuál es el menor valor posible de

n

?

Suppose that

|x_i|\lt1

for

i=1,

2,

\ldots,

n.

Suppose further that

\begin{aligned}&|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\&=19+\bigl|x_1+x_2\\&\qquad+\cdots+x_n\bigr|.\end{aligned}

What is the smallest possible value of

n?

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:valor absoluto desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Sea

P

la suma de los términos positivos y

N

la suma de los valores absolutos de los términos negativos

Let

P

be the sum of the positive terms and

N

the sum of the absolute values of the negative terms

Pista grande:

El lado izquierdo menos el último valor absoluto es igual a

2\min(P,N)

The left side minus the final absolute value equals

2\min(P,N)

Solución:

Sea

P

la suma de los

x_i

positivos y

N

la suma de los valores absolutos de los términos negativos

x_i.

Entonces

\begin{aligned}P+N-|P-N|&=2\min(P,N)\\&=19,\end{aligned}

así que tanto

P

como

N

son al menos

9.5.

Como todo

|x_i|\lt1,

cada signo requiere al menos

10

términos, lo que da

n\geq20.

La igualdad se alcanza con diez términos iguales a

0.95

y diez iguales a

-0.95,

así que el mínimo es

20.

Let

P

be the sum of the positive

x_i

and

N

the sum of the absolute values of the negative

x_i.

Then

\begin{aligned}P+N-|P-N|&=2\min(P,N)\\&=19,\end{aligned}

so both

P

and

N

are at least

9.5.

Because every

|x_i|\lt1,

each sign requires at least

10

terms, giving

n\geq20.

Equality is attainable with ten terms equal to

0.95

and ten equal to

-0.95,

so the minimum is

20.

1988 AIME Problema 4

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años