2025 AMC 12B 第 8 题

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8.

存在整数

a

和

b

，使得多项式

x^3 - 5x^2 + ax + b

有根

4 + \sqrt{5}

。

a + b

是多少？

There are integers

a

and

b

such that the polynomial

x^3 - 5x^2 + ax + b

has

4 + \sqrt{5}

as a root. What is

a + b?

13

17

20

30

68

答案：C

知识点：韦达定理多项式根式

难度评级：1440

小提示：

整数系数会迫使共轭数

4 - \sqrt{5}

也是一个根。

Integer coefficients force the conjugate

4 - \sqrt{5}

to be a root as well

大提示：

三个根的和为

5

，先求第三个根，再展开读出

a

和

b

。

The three roots sum to

5,

so find the third root, then expand to read off

a

and

b

解答：

共轭数

4 - \sqrt{5}

也是根，而两者对应的二次因式是

x^2 - 8x + 11

。设第三个根为

r

，由根和得

8 + r = 5

，所以

r = -3

。展开

(x^2 - 8x + 11)(x + 3)

= x^3 - 5x^2 - 13x + 33

，故

a = -13

，

b = 33

，

a + b = 20

。

所以正确答案是 C。

The conjugate

4 - \sqrt{5}

is also a root, and these two are the roots of

x^2 - 8x + 11.

The third root

r

satisfies

8 + r = 5,

so

r = -3.

Then

(x^2 - 8x + 11)(x + 3)

= x^3 - 5x^2 - 13x + 33,

giving

a = -13

and

b = 33,

so

a + b = 20.

Thus, the correct answer is C.

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