Question

在复平面中，以 $2z$ 、 $(1+i)z$ 、 $(1-i)z$ 为顶点的三角形，其中复数 $z$ 满足 $|4z - 2| = 1$ 。这个三角形的最大可能面积是多少？

What is the greatest possible area of the triangle in the complex plane with vertices $2z,$ $(1+i)z,$ and $(1-i)z,$ where $z$ is a complex number satisfying $|4z - 2| = 1?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

答案：C

知识点：复数三角形面积最优化

难度评级：2270

解答：

三个顶点是 $z \cdot 2$ 、 $z(1+i)$ 、 $z(1-i)$ ，所以该三角形是顶点为 $2, 1+i, 1-i$ 的面积为 $1$ 的固定三角形按比例 $|z|$ 缩放得到的，面积为 $|z|^2$ 。条件 $|4z - 2| = 1$ 等价于 $\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4}$ ，所以 $|z|$ 最大为 $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$ 。最大面积为 $\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}$ 。

所以正确答案是 C。

The vertices are $z \cdot 2,$ $z(1+i),$ and $z(1-i),$ so the triangle is the fixed triangle with vertices $2, 1+i, 1-i$ — which has area $1$ — scaled by $|z|,$ giving area $|z|^2.$ The condition $|4z - 2| = 1$ is the circle $\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4},$ on which $|z|$ is at most $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.$ So the greatest area is $\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B 第 22 题

答案：C

难度评级：2270

解答：

其他年份的第 22 题