Question

一个含 $9$ 个实数的列表包括 $1$ 、 $2.2$ 、 $3.2$ 、 $5.2$ 、 $6.2$ 、 $7$ ，以及满足 $x \le y \le z$ 的 $x, y, z$ 。列表的极差为 $7$ ，且平均数和中位数都是正整数。有多少个有序三元组 $(x, y, z)$ 可行？

A list of $9$ real numbers consists of $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ and $7,$ as well as $x, y, z$ with $x \le y \le z.$ The range of the list is $7,$ and the mean and median are both positive integers. How many ordered triples $(x, y, z)$ are possible?

$1$

$2$

$3$

$4$

无限多个

infinitely many

答案：C

知识点：平均数中位数（数据）极差分类讨论

难度评级：1600

解答：

六个固定数之和为 $24.8$ 。 $[1,7]$ 。

平均数 $0$ 为整数，当且仅当 $x=0$ 的小数部分为 $z\le7$ 。固定数的范围是 $3$ ，要使极差为 $7$ ，必须把某个端点再向外推一个单位。 $4$ ， $y+z=2.2$ $11.2$ 。 $2.2$ 。 $y=5$ ， $z=6.2$ 。 $(0,5,6.2)$ 。

逐一检查各种可能，恰有以下三组： $1$ $8$ ， $z=8$ $x+y=3.2$ $12.2$ 。 $3.2$ ； $x=6,\ y=6.2$ 。 $(6,6.2,8)$ 。

$x=t,\ z=t+7$ ，其平均数为 $4$ 、中位数为 $0\lt t\lt1$ ； $y=4.2-2t$ 。 $1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y$ ； $y=4$ ， $t=0.1$ 。 $(0.1,4,7.1)$ ， $3$

，其平均数为、中位数为；以及，其平均数为、中位数为。每组的极差都是，平均数和中位数也都是整数。所以正确答案是 C。

The six fixed numbers sum to $24.8$ and span $[1,7].$ There are three possible arrangements of the overall extremes.

If the extremes are $0$ and $7,$ then $x=0$ and $z\le7.$ The only possible integer means are $3$ and $4,$ requiring $y+z=2.2$ or $11.2.$ The first makes the median $2.2.$ In the second, an integer median forces $y=5,$ hence $z=6.2.$ This gives $(0,5,6.2).$

If the extremes are $1$ and $8,$ then $z=8$ and the integer mean forces $x+y=3.2$ or $12.2.$ The first makes the median $3.2;$ the second has an integer median only for $x=6,\ y=6.2.$ This gives $(6,6.2,8).$

Finally, if both extremes are new, write $x=t,\ z=t+7$ with $0\lt t\lt1.$ The mean must be $4,$ so $y=4.2-2t.$ The median is the fourth number among $1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y;$ it is an integer only when $y=4,$ giving $t=0.1.$ Thus the third triple is $(0.1,4,7.1),$ and there are exactly $3$ in all.

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B 第 10 题

答案：C

难度评级：1600

解答：

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