2024 AMC 12B 第 10 题

Question

一个含

9

个实数的列表包括

1

、

2.2

、

3.2

、

5.2

、

6.2

、

7

，以及满足

x \le y \le z

的

x

，

y

，

z

。列表的极差为

7

，且平均数和中位数都是正整数。有多少个有序三元组

(x, y, z)

可行？

A list of

9

real numbers consists of

1,

2.2,

3.2,

5.2,

6.2,

and

7,

as well as

x,

y,

z

with

x \le y \le z.

The range of the list is

7,

and the mean and median are both positive integers. How many ordered triples

(x, y, z)

are possible?

1

2

3

4

无限多个

infinitely many

答案：C

知识点：平均数中位数（数据）极差分类讨论

难度评级：1600

小提示：

六个固定数之和为

24.8

，所以平均数为整数时，

x + y + z

的小数部分必须为

0.2

。

The six fixed numbers sum to

24.8,

so the mean is an integer only when

x + y + z

ends in

0.2

大提示：

极差条件给出三种情形：

(\min,\max)=(0,7),\ (1,8)

，或

(t,t+7)

，其中

0\lt t\lt1

The range condition gives three cases:

(\min,\max)=(0,7),\ (1,8),

or

(t,t+7)

with

0\lt t\lt1

解答：

六个固定数之和为

24.8

，取值范围为

[1,7]

。整个列表的最小值与最大值有三种可能的安排。

若最小值与最大值为

0

和

7

，则

x=0

且

z\le7

。此时平均数为整数只能取

3

或

4

，分别要求

y+z=2.2

或

11.2

。前者使中位数变成

2.2

。后者若要中位数为整数，必须

y=5

，从而

z=6.2

。这给出

(0,5,6.2)

。

若最小值与最大值为

1

和

8

，则

z=8

，而平均数为整数要求

x+y=3.2

或

12.2

。前者使中位数变成

3.2

；后者只有在

x=6,\ y=6.2

时中位数才是整数。这给出

(6,6.2,8)

。

最后，若两个极值都由新数给出，写成

x=t,\ z=t+7

，其中

0\lt t\lt1

。平均数必须为

4

，所以

y=4.2-2t

。中位数是

1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y

中的第四个数；只有当

y=4

时它才是整数，此时

t=0.1

。于是第三个三元组是

(0.1,4,7.1)

，总共恰有

3

个。

所以正确答案是 C。

The six fixed numbers sum to

24.8

and span

[1,7].

There are three possible arrangements of the overall extremes.

If the extremes are

0

and

7,

then

x=0

and

z\le7.

The only possible integer means are

3

and

4,

requiring

y+z=2.2

or

11.2.

The first makes the median

2.2.

In the second, an integer median forces

y=5,

hence

z=6.2.

This gives

(0,5,6.2).

If the extremes are

1

and

8,

then

z=8

and the integer mean forces

x+y=3.2

or

12.2.

The first makes the median

3.2;

the second has an integer median only for

x=6,\ y=6.2.

This gives

(6,6.2,8).

Finally, if both extremes are new, write

x=t,\ z=t+7

with

0\lt t\lt1.

The mean must be

4,

so

y=4.2-2t.

The median is the fourth number among

1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y;

it is an integer only when

y=4,

giving

t=0.1.

Thus the third triple is

(0.1,4,7.1),

and there are exactly

3

in all.

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B 第 10 题

答案：C

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

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