2023 AMC 12B 第 10 题

Question

在

xy

-平面中，一个半径为

4

、圆心在正

x

-轴上的圆在原点处与

y

-轴相切；另一个半径为

10

、圆心在正

y

-轴上的圆在原点处与

x

-轴相切。经过这两个圆的两个交点的直线斜率是多少？

In the

xy

-plane, a circle of radius

4

with center on the positive

x

-axis is tangent to the

y

-axis at the origin, and a circle with radius

10

with center on the positive

y

-axis is tangent to the

x

-axis at the origin. What is the slope of the line passing through the two points at which these circles intersect?

\dfrac{2}{7}

\dfrac{3}{7}

\dfrac{2}{\sqrt{29}}

\dfrac{1}{\sqrt{29}}

\dfrac{2}{5}

答案：E

知识点：圆根轴斜率

难度评级：1440

小提示：

写出两个圆的方程，然后相减，得到经过两个交点的直线

Write both circle equations, then subtract to get the line through both intersection points

大提示：

两个圆可化简为

x^2+y^2=8x

和

x^2+y^2=20y

；令右边相等

The circles simplify to

x^2+y^2=8x

and

x^2+y^2=20y;

set the right sides equal

解答：

两个圆分别为

(x-4)^2+y^2=16

和

x^2+(y-10)^2=100

，即

x^2+y^2=8x

和

x^2+y^2=20y

。相减得

8x=20y

，所以交点都在

y=\tfrac{2}{5}x

上，该直线的斜率为

\tfrac{2}{5}

。

因此，正确答案是 E。

The circles are

(x-4)^2+y^2=16

and

x^2+(y-10)^2=100,

i.e.

x^2+y^2=8x

and

x^2+y^2=20y.

Subtracting gives

8x=20y,

so the intersection points lie on

y=\tfrac{2}{5}x,

which has slope

\tfrac{2}{5}.

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B 第 10 题

答案：E

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

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