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2023 AMC 12A 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

Usain 为了锻炼，在一块 100100 米乘 3030 米的矩形场地中之字形行走，从点 AA 出发并在 BC‾\overline{BC} 上结束。他想像下图所示（APQRSAPQRS）通过之字形增加行走距离。什么角 θ=∠PAB\theta=\angle PAB =∠QPC=\angle QPC =∠RQB=⋯=\angle RQB=\cdots 会使路径长度为 120120 米？（不要假设之字形路径恰好有图中所示的四段；段数可能更多或更少。）

Usain is walking for exercise by zigzagging across a 100100-meter by 3030-meter rectangular field, beginning at point AA and ending on the segment BC‾.\overline{BC}. He wants to increase the distance walked by zigzagging as shown in the figure below (APQRSAPQRS). What angle θ=∠PAB\theta=\angle PAB =∠QPC=\angle QPC =∠RQB=⋯=\angle RQB=\cdots will produce a length that is 120120 meters? (Do not assume the zigzag path has exactly four segments as shown; there could be more or fewer.)

arccos⁡56\arccos\tfrac{5}{6}

arccos⁡45\arccos\tfrac{4}{5}

arccos⁡310\arccos\tfrac{3}{10}

arcsin⁡45\arcsin\tfrac{4}{5}

arcsin⁡56\arcsin\tfrac{5}{6}

答案：A
知识点：三角学直角三角形
难度评级：1800
解答：

之字形的每一段都与场地的水平边成角 θ\theta。因此，长度为 ss 的一段在水平方向前进 scos⁡θs\cos\theta 米。即使最后一段在横跨场地完整宽度之前结束，这一点仍然成立。

将整条 120120 米路径的水平投影相加，得到 120cos⁡θ=100.120\cos\theta=100.

所以 cos⁡θ=56,\cos\theta=\dfrac56,从而 θ=arccos⁡56.\theta=\arccos\dfrac56.

因此，正确答案是 A。

Every segment of the zigzag makes angle θ\theta with a horizontal side of the field. Therefore a segment of length ss advances scos⁡θs\cos\theta meters horizontally. This remains true for the last segment even if it ends before crossing the full width of the field.

Adding the horizontal projections over the entire 120120-meter path gives 120cos⁡θ=100.120\cos\theta=100.

Therefore cos⁡θ=56,\cos\theta=\dfrac56, so θ=arccos⁡56.\theta=\arccos\dfrac56.

Thus, the correct answer is A.

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