2023 AMC 12A 第 15 题

Question

Usain 为了锻炼，在一块

100

米乘

30

米的矩形场地中之字形行走，从点

A

出发并在

\overline{BC}

上结束。他想像下图所示（

APQRS

）通过之字形增加行走距离。什么角

\theta=\angle PAB

=\angle QPC

=\angle RQB=\cdots

会使路径长度为

120

米？（不要假设之字形路径恰好有图中所示的四段；段数可能更多或更少。）

Usain is walking for exercise by zigzagging across a

100

-meter by

30

-meter rectangular field, beginning at point

A

and ending on the segment

\overline{BC}.

He wants to increase the distance walked by zigzagging as shown in the figure below (

APQRS

). What angle

\theta=\angle PAB

=\angle QPC

=\angle RQB=\cdots

will produce a length that is

120

meters? (Do not assume the zigzag path has exactly four segments as shown; there could be more or fewer.)

\arccos\tfrac{5}{6}

\arccos\tfrac{4}{5}

\arccos\tfrac{3}{10}

\arcsin\tfrac{4}{5}

\arcsin\tfrac{5}{6}

答案：A

知识点：三角学直角三角形

难度评级：1800

小提示：

之字形每一段的水平投影等于它的长度乘以

\cos\theta

The horizontal projection of each zigzag segment is its length multiplied by

\cos\theta

大提示：

把所有段的水平投影相加，再把

100

米的前进距离与

120

米的路径长度作比较

Add the horizontal projections of all the segments and compare the

100

-meter progress with the

120

-meter path

解答：

之字形的每一段都与场地的水平边成角

\theta

。因此，长度为

s

的一段在水平方向前进

s\cos\theta

米。即使最后一段在横跨场地完整宽度之前结束，这一点仍然成立。

将整条

120

米路径的水平投影相加，得到

120\cos\theta=100

。

所以

\cos\theta=\dfrac56

，从而

\theta=\arccos\dfrac56

。

因此，正确答案是 A。

Every segment of the zigzag makes angle

\theta

with a horizontal side of the field. Therefore a segment of length

s

advances

s\cos\theta

meters horizontally. This remains true for the last segment even if it ends before crossing the full width of the field.

Adding the horizontal projections over the entire

120

-meter path gives

120\cos\theta=100.

Therefore

\cos\theta=\dfrac56,

so

\theta=\arccos\dfrac56.

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12A 第 15 题

答案：A

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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