2022 AMC 12A 第 22 题

Question

设

c

为实数，且

z_1

，

z_2

是二次方程

z^2-cz+10=0

的两个复数解。点

z_1

，

z_2

，

\dfrac{1}{z_1}

，和

\dfrac{1}{z_2}

是复平面中一个凸四边形

Q

的顶点。当

Q

的面积取得最大值时，

c

最接近下列哪一个数？

Let

c

be a real number, and let

z_1,

z_2

be the two complex numbers satisfying the quadratic

z^2-cz+10=0.

Points

z_1,

z_2,

\dfrac{1}{z_1},

and

\dfrac{1}{z_2}

are the vertices of a (convex) quadrilateral

Q

in the complex plane. When the area of

Q

obtains its maximum value,

c

is the closest to which of the following?

4.5

5

5.5

6

6.5

答案：A

知识点：复数梯形最优化

难度评级：2270

小提示：

当实数

c

给出非实根时，

z_2=\overline{z_1}

且

|z_1|=|z_2|=\sqrt{10}

。

For real

c

with complex roots,

z_2=\overline{z_1}

and

|z_1|=|z_2|=\sqrt{10}

大提示：

四个点组成一个关于实轴对称的等腰梯形；用根的辐角

\theta

表示它的面积

The four points form an isosceles trapezoid symmetric about the real axis; write its area in terms of the root’s angle

\theta

解答：

若根不是实数，则

z_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta}

且

z_2=\overline{z_1}

，因为

z_1z_2=10

。于是

\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta}

，

\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}

。

这个梯形的两条竖边长度分别为

2\sqrt{10}\sin\theta

和

\frac{2\sin\theta}{\sqrt{10}}

，它们之间的水平距离为

(\sqrt{10}-\frac{1}{\sqrt{10}})\cos\theta

。因此它的面积为

\frac{99}{10}\sin\theta\cos\theta =\frac{99}{20}\sin2\theta\text{，}

在

\theta=45^\circ

时取得最大值。

此时

c=z_1+z_2

=2\sqrt{10}\cos45^\circ

=2\sqrt5\approx4.47

，最接近

4.5

。

因此，正确答案是 A。

If the roots are non-real, then

z_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta}

and

z_2=\overline{z_1},

since

z_1z_2=10.

Then

\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta}

and

\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}.

The two vertical sides of this trapezoid have lengths

2\sqrt{10}\sin\theta

and

\frac{2\sin\theta}{\sqrt{10}},

and their horizontal separation is

(\sqrt{10}-\frac{1}{\sqrt{10}})\cos\theta.

Hence its area is

\frac{99}{10}\sin\theta\cos\theta =\frac{99}{20}\sin2\theta,

which is maximized at

\theta=45^\circ.

Then

c=z_1+z_2

=2\sqrt{10}\cos45^\circ

=2\sqrt5\approx4.47,

closest to

4.5.

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12A 第 22 题

答案：A

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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