Question

设 $c$ 为实数，且 $z_1,z_2$ 是二次方程 $z^2-cz+10=0$ 的两个复数解。点 $z_1$ ， $z_2$ ， $\dfrac{1}{z_1}$ ，和 $\dfrac{1}{z_2}$ 是复平面中一个凸四边形 $Q$ 的顶点。当 $Q$ 的面积取得最大值时， $c$ 最接近下列哪一个数？

Let $c$ be a real number, and let $z_1,z_2$ be the two complex numbers satisfying the quadratic $z^2-cz+10=0.$ Points $z_1,$ $z_2,$ $\dfrac{1}{z_1},$ and $\dfrac{1}{z_2}$ are the vertices of a (convex) quadrilateral $Q$ in the complex plane. When the area of $Q$ obtains its maximum value, $c$ is the closest to which of the following?

$4.5$

$5$

$5.5$

$6$

$6.5$

答案：A

知识点：复数梯形最优化

难度评级：2270

解答：

若根不是实数，则 $z_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta}$ 且 $z_2=\overline{z_1}$ ，因为 $z_1z_2=10$ 。于是 $\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta}$ ， $\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}$ 。

这四个点形成一个关于实轴对称、两条竖边互相平行的梯形。它的面积为在 $\theta=45^\circ$ 时取得最大值。 $2\sqrt{10}\sin\theta$ $2\sin\theta/\sqrt{10}$ ， $(\sqrt{10}-1/\sqrt{10})\cos\theta$ 。 $\frac{99}{10}\sin\theta\cos\theta =\frac{99}{20}\sin2\theta,$

此时 $c=z_1+z_2$ $=2\sqrt{10}\cos45^\circ$ $=2\sqrt5\approx4.47$ ，最接近 $4.5$ 。

因此，正确答案是 A。

If the roots are non-real, then $z_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta}$ and $z_2=\overline{z_1},$ since $z_1z_2=10.$ Then $\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta}$ and $\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}.$

The two vertical sides of this trapezoid have lengths $2\sqrt{10}\sin\theta$ and $2\sin\theta/\sqrt{10},$ and their horizontal separation is $(\sqrt{10}-1/\sqrt{10})\cos\theta.$ Hence its area is $\frac{99}{10}\sin\theta\cos\theta =\frac{99}{20}\sin2\theta,$ which is maximized at $\theta=45^\circ.$

Then $c=z_1+z_2$ $=2\sqrt{10}\cos45^\circ$ $=2\sqrt5\approx4.47,$ closest to $4.5.$

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12A 第 22 题

答案：A

难度评级：2270

解答：

其他年份的第 22 题