Question

等边三角形 $ABC$ 的边长为 $6$ 。设 $O$ 是该三角形内切圆的圆心。经过 $A$ 、 $O$ 和 $C$ 三点的圆的面积是多少？

Triangle $ABC$ is equilateral with side length $6.$ Suppose that $O$ is the center of the inscribed circle of this triangle. What is the area of the circle passing through $A,$ $O,$ and $C?$

$9\pi$

$12\pi$

$18\pi$

$24\pi$

$27\pi$

答案：B

知识点：等边三角形外接圆、外心与外接圆半径正弦定理

难度评级：1610

解答：

对于等边三角形， $O$ 也是外心，所以 $OA = OC = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3$ 中心角 $\angle AOC = 120^\circ$ 。

在三角形 $AOC$ 中，边 $AC = 6$ 所对的角为 $120^\circ$ ，因此该三角形的外接圆半径 $R'$ 满足从而 $R' = 2\sqrt3$ 。 $2R' = \dfrac{6}{\sin 120^\circ} = 4\sqrt3,$

该圆的面积为 $\pi (2\sqrt3)^2 = 12\pi$ 。

所以正确答案是 B。

For an equilateral triangle, $O$ is also the circumcenter, so $OA = OC = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3.$ The central angle $\angle AOC = 120^\circ.$

In triangle $AOC,$ side $AC = 6$ is opposite the $120^\circ$ angle, so the circumradius $R'$ of this triangle satisfies $2R' = \dfrac{6}{\sin 120^\circ} = 4\sqrt3,$ giving $R' = 2\sqrt3.$

The area of the circle is $\pi (2\sqrt3)^2 = 12\pi.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Fall 第 9 题

答案：B

难度评级：1610

解答：

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