2021 AMC 12B Fall 第 6 题

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6.

16{,}384

的最大质因数是

2

，因为

16{,}384 = 2^{14}

。

16{,}383

的最大质因数的数字和是多少？

The greatest prime number that is a divisor of

16{,}384

is

2

because

16{,}384 = 2^{14}.

What is the sum of the digits of the greatest prime number that is a divisor of

16{,}383?

3

7

10

16

22

答案：C

知识点：平方差质因数分解

难度评级：1280

小提示：

16{,}383 = 2^{14} - 1

。

16{,}383 = 2^{14} - 1

大提示：

分解为

(2^{7} - 1)(2^{7} + 1)

Factor as

(2^{7} - 1)(2^{7} + 1)

解答：

因为

16{,}383 = 2^{14} - 1

= (2^{7} - 1)(2^{7} + 1)

= 127 \cdot 129

，而

129 = 3 \cdot 43

，所以

16{,}383 = 3 \cdot 43 \cdot 127

。

最大质因数是

127

，其各位数字之和为

1 + 2 + 7 = 10

。

所以正确答案是 C。

We have

16{,}383 = 2^{14} - 1

= (2^{7} - 1)(2^{7} + 1)

= 127 \cdot 129.

Then

129 = 3 \cdot 43,

so

16{,}383 = 3 \cdot 43 \cdot 127.

The greatest prime factor is

127,

whose digit sum is

1 + 2 + 7 = 10.

Thus, the correct answer is C.

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