2021 AMC 12B Fall 第 22 题

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22.

直角三角形

ABC

的边长为

BC = 6

、

AC = 8

、

AB = 10

。以

O

为圆心的圆在

B

点与直线

BC

相切，并经过

A

。以

P

为圆心的圆在

A

点与直线

AC

相切，并经过

B

。求

OP

。

Right triangle

ABC

has side lengths

BC = 6,

AC = 8,

and

AB = 10.

A circle centered at

O

is tangent to line

BC

at

B

and passes through

A.

A circle centered at

P

is tangent to line

AC

at

A

and passes through

B.

What is

OP?

\dfrac{23}{8}

\dfrac{29}{10}

\dfrac{35}{12}

\dfrac{73}{25}

3

答案：C

知识点：坐标几何切线距离公式

难度评级：2490

小提示：

将

C

放在原点，并让两条直角边沿坐标轴。

Place

C

at the origin with legs along the axes

大提示：

切点处的半径垂直于切线，所以

O

在

B

的正上方，

P

在

A

的正右方。

A tangent point’s radius is perpendicular to the tangent line, so

O

lies directly above

B

and

P

directly across from

A

解答：

令

C = (0, 0)

，

B = (6, 0)

，

A = (0, 8)

，于是直角在

C

。

圆

O

与直线

BC

（

x

-轴）在

B

点相切，所以

O = (6, k)

。令

OA = OB

，得

36 + (k - 8)^2 = k^2

，所以

k = \tfrac{25}{4}

，即

O = \left(6, \tfrac{25}{4}\right)

。

圆

P

与直线

AC

（

y

-轴）在

A

点相切，所以

P = (h, 8)

。由

PB = PA

得

(h - 6)^2 + 64 = h^2

，所以

h = \tfrac{25}{3}

，且

P = \left(\tfrac{25}{3}, 8\right)

。

因此

OP = \sqrt{\left(\tfrac73\right)^2 + \left(\tfrac74\right)^2}

= 7\sqrt{\tfrac{25}{144}}

= \dfrac{35}{12}

。

所以正确答案是 C。

Place

C = (0, 0),

B = (6, 0),

and

A = (0, 8),

so the right angle is at

C.

Circle

O

is tangent to line

BC

(the

x

-axis) at

B,

so

O = (6, k).

Setting

OA = OB

gives

36 + (k - 8)^2 = k^2,

so

k = \tfrac{25}{4}

and

O = \left(6, \tfrac{25}{4}\right).

Circle

P

is tangent to line

AC

(the

y

-axis) at

A,

so

P = (h, 8).

Setting

PB = PA

gives

(h - 6)^2 + 64 = h^2,

so

h = \tfrac{25}{3}

and

P = \left(\tfrac{25}{3}, 8\right).

Then

OP = \sqrt{\left(\tfrac73\right)^2 + \left(\tfrac74\right)^2}

= 7\sqrt{\tfrac{25}{144}}

= \dfrac{35}{12}.

Thus, the correct answer is C.

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