2021 AMC 12B Fall 第 10 题

Question

坐标平面上的三点

(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\

(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ)

，和

\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)

构成等腰三角形。求

0

到

360

之间所有可能的

t

之和。

What is the sum of all possible values of

t

between

0

and

360

such that the triangle in the coordinate plane whose vertices are

(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\

(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),

and

\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)

is isosceles?

100

150

330

360

380

答案：E

知识点：圆弦等腰三角形

难度评级：1820

小提示：

三个点都在单位圆上，所以边相等等价于对应弦相等，也就是圆弧间隔相等。

All three points lie on the unit circle, so equal sides mean equal chords, i.e. equal arc separations

大提示：

分三种情况：第三点到

A

的距离相等、到

B

的距离相等，或位于它们的垂直平分线上。

Consider the three cases where the third point matches distance to

A,

to

B,

or lies on their perpendicular bisector

解答：

三个点位于单位圆上，对应角分别为

40^\circ

，

60^\circ

，

t^\circ

。

若第三点到其余两点的距离相等，它必在这两点连线的垂直平分线上，故

t = 50

或

t = 230

。

若它到

40^\circ

所对点的距离等于两个已知点间的弦长（角度差为

20^\circ

），则

t = 20

（

t = 60

时三角形退化）。同理，若它到

60^\circ

所对点的距离相等，则

t = 80

（

t = 40

时退化）。

有效值为

50, 230, 20, 80

，总和为

380

。

所以正确答案是 E。

The three points lie on the unit circle at angles

40^\circ,

60^\circ,

and

t^\circ.

A chord’s length depends only on the angular separation of its endpoints.

If the third point is equidistant from the other two, it lies on the perpendicular bisector:

t = 50

or

t = 230.

If its distance to

40^\circ

equals the fixed chord (separation

20^\circ

), then

t = 20

(since

t = 60

is degenerate). If its distance to

60^\circ

matches, then

t = 80

(since

t = 40

is degenerate).

The valid values are

50, 230, 20, 80,

summing to

380.

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12B Fall 第 10 题

答案：E

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

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