2021 AMC 12A Fall 第 6 题

Question

如下图所示，点

E

位于直线

CD

所确定的、与点

A

相反的半平面内，且

\angle CDE = 110^\circ

。点

F

在

\overline{AD}

上，使得

DE = DF

，并且

ABCD

是正方形。

\angle AFE

的度数是多少？

As shown in the figure below, point

E

lies on the opposite half-plane determined by line

CD

from point

A

so that

\angle CDE = 110^\circ.

Point

F

lies on

\overline{AD}

so that

DE = DF,

and

ABCD

is a square. What is the degree measure of

\angle AFE?

160

164

166

170

174

答案：D

知识点：导角等腰三角形正方形（几何）

难度评级：1350

小提示：

在点

D

处，三角形的这个角等于

360^\circ

减去

\angle ADC+\angle CDE

Around point

D,

the triangle’s angle is

360^\circ

minus

\angle ADC+\angle CDE

大提示：

三角形

DFE

是等腰三角形，且

DF = DE

，所以两个底角相等

Triangle

DFE

is isosceles with

DF = DE,

so its two base angles are equal

解答：

因为

ABCD

是正方形，

\angle ADC = 90^\circ

。又因为

E

与

A

在直线

CD

的两侧，射线

DE

越过了

DC

，所以三角形

DFE

在

D

处的角（其中

F

在

\overline{AD}

上）为

\angle FDE = 360^\circ

- (\angle ADC + \angle CDE)

= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ)

= 160^\circ

。

因为

DF = DE

，三角形

DFE

是等腰三角形，其底角

\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ

。

因为

A

、

F

、

D

共线，所以

\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ

。

所以正确答案是 D。

Because

ABCD

is a square,

\angle ADC = 90^\circ.

Since

E

and

A

lie on opposite sides of line

CD,

ray

DE

is swung past

DC,

so the angle of triangle

DFE

at

D

(with

F

on

\overline{AD}

) is

\angle FDE = 360^\circ

- (\angle ADC + \angle CDE)

= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ)

= 160^\circ.

Since

DF = DE,

triangle

DFE

is isosceles with base angles

\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ.

As

A,

F,

D

are collinear,

\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall 第 6 题

答案：D

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

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