Question

设 $ABCD$ 是一个矩形，且线段 $\overline{DM}$ 垂直于 $ABCD$ 所在平面。假设 $\overline{DM}$ 的长度是整数，并且 $\overline{MA}, \overline{MC}$ 和 $\overline{MB}$ 的长度按此顺序是连续的正奇数。棱锥 $MABCD$ 的体积是多少？

Let $ABCD$ be a rectangle and let $\overline{DM}$ be a segment perpendicular to the plane of $ABCD.$ Suppose that $\overline{DM}$ has integer length, and the lengths of $\overline{MA}, \overline{MC},$ and $\overline{MB}$ are consecutive odd positive integers (in this order). What is the volume of pyramid $MABCD?$

$24\sqrt5$

$60$

$28\sqrt5$

$66$

$8\sqrt{70}$

答案：A

知识点：立体几何勾股定理棱锥

难度评级：1790

解答：

把 $D$ 放在原点，令 $A$ ， $C$ 沿矩形的两条边，且 $M$ 正好在 $D$ 的上方。则 $MA^2=AD^2+DM^2$ ， $MC^2=CD^2+DM^2$ ，且 $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2$ 。

因此 $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2$ 。写成 $MA,MC,MB=k,k+2,k+4$ ，得 $DM^2=k^2+(k+2)^2$ $-(k+4)^2$ $=k^2-4k-12$ 。

这个值为正完全平方数时只可能 $k=7$ ，得 $DM=t$ ，所以 $(k-2)^2-t^2=16$ ， $(k-2-t)(k-2+t)=16$ ， $t>0$ 。于是 $AD^2=49-9=40$ ， $CD^2=81-9=72$ 。 $(2,8)$ ， $t=3$ 。

底面积为 $AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}$ $=\sqrt{2880}=24\sqrt5$ ，体积为 $\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5$ 。

所以正确答案是 A。

Place $D$ at the origin with $A,$ $C$ along the rectangle's edges and $M$ directly above $D.$ Then $MA^2=AD^2+DM^2,$ $MC^2=CD^2+DM^2,$ and $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.$

Thus $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2.$ Writing $MA,MC,MB=k,k+2,k+4,$ we get $DM^2=k^2+(k+2)^2$ $-(k+4)^2$ $=k^2-4k-12.$

If $DM=t$ is a positive integer, then $(k-2)^2-t^2=16,$ so $(k-2-t)(k-2+t)=16.$ The only positive same-parity factor pair giving $t>0$ is $(2,8),$ which yields $k=7$ and $t=3.$ Thus $AD^2=49-9=40$ and $CD^2=81-9=72.$

The base area is $AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}$ $=\sqrt{2880}=24\sqrt5,$ and the volume is $\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Spring 第 14 题

答案：A

难度评级：1790

解答：

其他年份的第 14 题