2021 AMC 12B Spring 第 14 题

Question

设

ABCD

是一个矩形，且线段

\overline{DM}

垂直于

ABCD

所在平面。假设

\overline{DM}

的长度是整数，并且

\overline{MA}

，

\overline{MC}

和

\overline{MB}

的长度按此顺序是连续的正奇数。棱锥

MABCD

的体积是多少？

Let

ABCD

be a rectangle and let

\overline{DM}

be a segment perpendicular to the plane of

ABCD.

Suppose that

\overline{DM}

has integer length, and the lengths of

\overline{MA},

\overline{MC},

and

\overline{MB}

are consecutive odd positive integers (in this order). What is the volume of pyramid

MABCD?

24\sqrt5

60

28\sqrt5

66

8\sqrt{70}

答案：A

知识点：立体几何勾股定理棱锥

难度评级：1790

小提示：

把

D

放在原点，则

MA^2=AD^2+DM^2

，

MC^2=CD^2+DM^2

，

MB^2=AD^2+CD^2+DM^2

。

With

D

at the origin,

MA^2=AD^2+DM^2,

MC^2=CD^2+DM^2,

MB^2=AD^2+CD^2+DM^2

大提示：

所以

MB^2=MA^2+MC^2-DM^2

；令

MA,MC,MB=k,k+2,k+4

，解出

k

和

DM

。

So

MB^2=MA^2+MC^2-DM^2;

with

MA,MC,MB=k,k+2,k+4,

solve for

k

and

DM

解答：

把

D

放在原点，令

A

，

C

沿矩形的两条边，且

M

正好在

D

的上方。则

MA^2=AD^2+DM^2

，

MC^2=CD^2+DM^2

，且

MB^2=AD^2+CD^2+DM^2

。

因此

MB^2=MA^2+MC^2-DM^2

。写成

MA,MC,MB=k,k+2,k+4

，得

DM^2=k^2+(k+2)^2

-(k+4)^2

=k^2-4k-12

。

若

DM=t

是正整数，则

(k-2)^2-t^2=16

，所以

(k-2-t)(k-2+t)=16

。能使

t>0

的同奇偶正因数对只有

(2,8)

，由此得到

k=7

和

t=3

。于是

AD^2=49-9=40

，且

CD^2=81-9=72

。

底面积为

AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}

=\sqrt{2880}=24\sqrt5

，体积为

\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5

。

所以正确答案是 A。

Place

D

at the origin with

A,

C

along the rectangle’s edges and

M

directly above

D.

Then

MA^2=AD^2+DM^2,

MC^2=CD^2+DM^2,

and

MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.

Thus

MB^2=MA^2+MC^2-DM^2.

Writing

MA,MC,MB=k,k+2,k+4,

we get

DM^2=k^2+(k+2)^2

-(k+4)^2

=k^2-4k-12.

If

DM=t

is a positive integer, then

(k-2)^2-t^2=16,

so

(k-2-t)(k-2+t)=16.

The only positive same-parity factor pair giving

t>0

is

(2,8),

which yields

k=7

and

t=3.

Thus

AD^2=49-9=40

and

CD^2=81-9=72.

The base area is

AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}

=\sqrt{2880}=24\sqrt5,

and the volume is

\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Spring 第 14 题

答案：A

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

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