LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

2021 AMC 12B Spring 第 13 题

先试着解答 2021 AMC 12B Spring 第 13 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2021 AMC 12B Spring 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

区间 0<θ≤2π0\lt\theta\le 2\pi 中有多少个 θ\theta 的值满足 1−3sin⁡θ+5cos⁡3θ=0?1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0?

How many values of θ\theta in the interval 0<θ≤2π0\lt\theta\le 2\pi satisfy 1−3sin⁡θ+5cos⁡3θ=0?1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0?

22

44

55

66

88

答案：D
知识点：三角学系统列举
难度评级：1850
解答：

令 f(θ)=1−3sin⁡θ+5cos⁡3θf(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta。快速变化项 θ=0,π3,2π3,…,2π\theta=0,\tfrac\pi3,\tfrac{2\pi}3,\ldots,2\pi 完成三次振荡，而 +,−,+,−,+,−,++,-,+,-,+,-,+ 始终在 和 之间。

在 5cos⁡3θ=3sin⁡θ−15\cos3\theta=3\sin\theta-1 处取样，15∣sin⁡3θ∣>3∣cos⁡θ∣15|\sin3\theta|>3|\cos\theta| 的符号为 (kπ3,(k+1)π3)(\tfrac{k\pi}{3},\tfrac{(k+1)\pi}{3})， f′(θ)=−3cos⁡θ−15sin⁡3θf'(\theta)=-3\cos\theta-15\sin3\theta， 显示有六次符号变化，因此有六个根。 (−1)k+1(-1)^{k+1} 25sin⁡23θ−cos⁡2θ=23+6sin⁡θ−8sin⁡2θ>0. \begin{aligned} &25\sin^2 3\theta-\cos^2\theta \\ &\quad =23+6\sin\theta-8\sin^2\theta>0. \end{aligned}

每次符号变化对应恰好一个解，所以共有 66 个 的值。

所以正确答案是 D。

Let f(θ)=1−3sin⁡θ+5cos⁡3θ.f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta. At θ=0,π3,2π3,…,2π,\theta=0,\tfrac\pi3,\tfrac{2\pi}3,\ldots,2\pi, its signs alternate +,−,+,−,+,−,+.+,-,+,-,+,-,+. Therefore there is at least one root in each of the six intervening intervals.

At any root, 5cos⁡3θ=3sin⁡θ−1.5\cos3\theta=3\sin\theta-1. Consequently 25sin⁡23θ−cos⁡2θ=23+6sin⁡θ−8sin⁡2θ>0. \begin{aligned} &25\sin^2 3\theta-\cos^2\theta \\ &\quad =23+6\sin\theta-8\sin^2\theta>0. \end{aligned} Hence 15∣sin⁡3θ∣>3∣cos⁡θ∣.15|\sin3\theta|>3|\cos\theta|. In the interval (kπ3,(k+1)π3),(\tfrac{k\pi}{3},\tfrac{(k+1)\pi}{3}), the sign of f′(θ)=−3cos⁡θ−15sin⁡3θf'(\theta)=-3\cos\theta-15\sin3\theta is therefore (−1)k+1(-1)^{k+1} at every root.

Thus every root in a given interval crosses the axis in the same direction. Two such roots would require an intervening crossing in the opposite direction, so each interval has exactly one root. There are 66 solutions in all.

Thus, the correct answer is D.

← 第 12 题#12
完整试卷
第 14 题#14 →

其他年份的第 13 题

1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B