Question

假设多项式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 的根为 $\cos\tfrac{2\pi}{7}$ 、 $\cos\tfrac{4\pi}{7}$ 和 $\cos\tfrac{6\pi}{7}$ ，其中角度以弧度计。求 $abc$ 。

Suppose that the roots of the polynomial $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ are $\cos\tfrac{2\pi}{7},$ $\cos\tfrac{4\pi}{7},$ and $\cos\tfrac{6\pi}{7},$ where angles are in radians. What is $abc?$

$-\dfrac{3}{49}$

$-\dfrac{1}{28}$

$\dfrac{\sqrt[3]{7}}{64}$

$\dfrac{1}{32}$

$\dfrac{1}{28}$

答案：D

知识点：单位根多项式韦达定理

难度评级：2450

解答：

数 $r_1,r_2,r_3$ ， $r_1+r_2+r_3=-\tfrac12$ ， $\sum r_i^2=\tfrac32+\tfrac12\sum r_i=\tfrac54$ 是 $r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3$ 的三个根。 $\tfrac12((\sum r_i)^2-\sum r_i^2)=-\tfrac12$ 。

除以 $4r_1r_2r_3=1+r_1+r_2+r_3=\tfrac12$ 得到首一形式： $r_1r_2r_3=\tfrac18$ 。 $x^3 + \tfrac12 x^2 - \tfrac12 x - \tfrac18 = 0.$

对比系数得 $a = \tfrac12$ ， $b = -\tfrac12$ ， $c = -\tfrac18$ 。因此 $abc = \tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot\left(-\tfrac18\right) = \tfrac{1}{32}$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the three roots be $r_1,r_2,r_3.$ The seventh roots of unity give $r_1+r_2+r_3=-\tfrac12.$ Doubling the three angles merely permutes their cosines, so $\sum r_i^2=\tfrac32+\tfrac12\sum r_i=\tfrac54.$ Hence $r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3$ equals $\tfrac12((\sum r_i)^2-\sum r_i^2)=-\tfrac12.$

The product-to-sum identity gives $4r_1r_2r_3=1+r_1+r_2+r_3=\tfrac12,$ so $r_1r_2r_3=\tfrac18.$ Therefore their monic polynomial is $x^3 + \tfrac12 x^2 - \tfrac12 x - \tfrac18 = 0.$

Matching coefficients, $a = \tfrac12,$ $b = -\tfrac12,$ $c = -\tfrac18.$ Therefore $abc = \tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot\left(-\tfrac18\right) = \tfrac{1}{32}.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring 第 22 题

答案：D

难度评级：2450

解答：

其他年份的第 22 题