Question

下列哪一个等于表达式 $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}$ ？

Which of the following is the value of $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}?$

$1$

$\sqrt{\log_5 6}$

$2$

$\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}$

$\sqrt{\log_2 6} + \sqrt{\log_3 6}$

答案：D

知识点：对数代数变形

难度评级：1590

解答：

令 $a = \log_2 3$ ，则 $\log_3 2 = \tfrac1a$ 。于是 $\begin{gathered} \log_2 6 + \log_3 6 \\ {}= (1 + \log_2 3) \\ \quad {}+ (1 + \log_3 2) \\ {}= 2 + a + \frac1a. \end{gathered}$

另一方面， $\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2$ $= a + \frac1a + 2\sqrt{a \cdot \tfrac1a}$ $= a + \frac1a + 2$ ，与上式相等。

两边都为正，所以 $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}$ $= \sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}$ 这就是所求的等式。

所以正确答案是 D。

Let $a = \log_2 3,$ so $\log_3 2 = \tfrac1a.$ Then $\begin{gathered} \log_2 6 + \log_3 6 \\ {}= (1 + \log_2 3) \\ \quad {}+ (1 + \log_3 2) \\ {}= 2 + a + \frac1a. \end{gathered}$

Meanwhile $\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2$ $= a + \frac1a + 2\sqrt{a \cdot \tfrac1a}$ $= a + \frac1a + 2,$ which equals the expression above.

Taking square roots, $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}$ $= \sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}.$

Thus, the correct answer is D.

2020 AMC 12B 第 13 题

答案：D

难度评级：1590

解答：

其他年份的第 13 题