2020 AMC 12B 第 13 题

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13.

下列哪一个等于表达式

\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}

？

Which of the following is the value of

\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}?

1

\sqrt{\log_5 6}

2

\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}

\sqrt{\log_2 6} + \sqrt{\log_3 6}

答案：D

知识点：对数代数变形

难度评级：1590

小提示：

分别写成

\log_2 6 = 1 + \log_2 3

和

\log_3 6 = 1 + \log_3 2

。

Write

\log_2 6 = 1 + \log_2 3

and

\log_3 6 = 1 + \log_3 2

大提示：

与

\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2

比较，并利用

\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1

Compare with

\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2,

using

\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1

解答：

令

a = \log_2 3

，则

\log_3 2 = \tfrac1a

。于是

\begin{gathered} \log_2 6 + \log_3 6 \\ {}= (1 + \log_2 3) \\ \quad {}+ (1 + \log_3 2) \\ {}= 2 + a + \frac1a \end{gathered}\text{。}

另一方面，

\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2

= a + \frac1a + 2\sqrt{a \cdot \tfrac1a}

= a + \frac1a + 2

，与上式相等。

两边取平方根，得

\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}

= \sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}

。

所以正确答案是 D。

Let

a = \log_2 3,

so

\log_3 2 = \tfrac1a.

Then

\begin{gathered} \log_2 6 + \log_3 6 \\ {}= (1 + \log_2 3) \\ \quad {}+ (1 + \log_3 2) \\ {}= 2 + a + \frac1a. \end{gathered}

Meanwhile

\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2

= a + \frac1a + 2\sqrt{a \cdot \tfrac1a}

= a + \frac1a + 2,

which equals the expression above.

Taking square roots,

\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}

= \sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}.

Thus, the correct answer is D.

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